Buktikan kesamaan trigonometri berikut. cos 24-cos 84+cos

Kesamaan terbukti dengan menggunakan identitas trigonometri dan nilai cos 36° = (sqrt(5)+1)/4.

Pembahasan

Untuk membuktikan kesamaan trigonometri cos 24° - cos 84° + cos 36° = (akar(5)+1)/2, kita dapat menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sudut serta nilai cosinus sudut istimewa.

Langkah 1: Gunakan identitas cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2) untuk cos 24° - cos 84°.
cos 24° - cos 84° = -2 sin((24°+84°)/2) sin((24°-84°)/2)
= -2 sin(108°/2) sin(-60°/2)
= -2 sin(54°) sin(-30°)
Karena sin(-x) = -sin(x), maka:
= -2 sin(54°) (-sin(30°))
= 2 sin(54°) sin(30°)
Kita tahu bahwa sin(30°) = 1/2.
= 2 sin(54°) (1/2)
= sin(54°)

Kita juga tahu bahwa sin(x) = cos(90° - x). Jadi, sin(54°) = cos(90° - 54°) = cos(36°).

Jadi, cos 24° - cos 84° = cos 36°.

Langkah 2: Substitusikan hasil dari Langkah 1 ke dalam persamaan awal.
cos 24° - cos 84° + cos 36° = cos 36° + cos 36°
= 2 cos 36°

Langkah 3: Gunakan nilai yang diberikan untuk cos 36°.
Diketahui bahwa cos 36° = (akar(5)+1)/2.

Maka, 2 cos 36° = 2 * (akar(5)+1)/2
= akar(5)+1

Ada sedikit perbedaan dengan hasil yang diharapkan yaitu (akar(5)+1)/2. Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya.

Mari kita coba kelompokkan ulang: cos 24° + cos 36° - cos 84°.

Kita bisa gunakan identitas cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2).
cos 24° + cos 36° = 2 cos((24°+36°)/2) cos((24°-36°)/2)
= 2 cos(60°/2) cos(-12°/2)
= 2 cos(30°) cos(-6°)
= 2 cos(30°) cos(6°) (karena cos(-x) = cos(x))
Kita tahu cos(30°) = sqrt(3)/2.
= 2 * (sqrt(3)/2) cos(6°)
= sqrt(3) cos(6°)

Kemudian kita kurangkan dengan cos 84°:
sqrt(3) cos(6°) - cos 84°.
Ini sepertinya tidak menyederhanakan dengan mudah.

Mari kita kembali ke pendekatan awal dan periksa nilai sin(54°).
Kita tahu bahwa sin(54°) = cos(36°) = (akar(5)+1)/4. (Ini adalah nilai yang benar untuk cos 36°).

Mari kita gunakan nilai cos 36° = (akar(5)+1)/4, bukan (akar(5)+1)/2. Ada kemungkinan petunjuknya salah atau saya salah mengingat nilai cos 36°.

Nilai cos 36° yang benar adalah (sqrt(5)+1)/4.

Mari kita ulangi dengan nilai yang benar:
cos 24° - cos 84° + cos 36°
= sin(54°) + cos 36°
= cos(36°) + cos(36°)
= 2 cos(36°)
= 2 * ( (sqrt(5)+1)/4 )
= (sqrt(5)+1)/2

Ya, ternyata nilai cos 36° adalah (sqrt(5)+1)/4.

Jadi, langkah-langkah pembuktiannya adalah:
1. Gunakan identitas cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2) untuk cos 24° - cos 84°.
   cos 24° - cos 84° = -2 sin(54°) sin(-30°) = 2 sin(54°) sin(30°) = 2 sin(54°) * (1/2) = sin(54°).
2. Gunakan identitas sin(x) = cos(90° - x). Maka sin(54°) = cos(90° - 54°) = cos(36°).
3. Substitusikan kembali ke persamaan awal: cos 24° - cos 84° + cos 36° = cos 36° + cos 36° = 2 cos 36°.
4. Gunakan nilai cos 36° = (sqrt(5)+1)/4.
   2 cos 36° = 2 * ( (sqrt(5)+1)/4 ) = (sqrt(5)+1)/2.

Dengan demikian, terbukti bahwa cos 24° - cos 84° + cos 36° = (akar(5)+1)/2.