Buktikan Pernyataan berikut dengan induksi matematika sigma

Pernyataan terbukti benar melalui basis induksi (n=1) dan langkah induksi.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan sigma k=1 n ((4^(k-1))=1/3(4^n - 1)) dengan induksi matematika, kita lakukan langkah-langkah berikut:

1. Basis Induksi (n=1):
Substitusikan n=1 ke dalam pernyataan.
Sisi kiri: sigma k=1^1 (4^(k-1)) = 4^(1-1) = 4^0 = 1.
Sisi kanan: 1/3(4^1 - 1) = 1/3(4 - 1) = 1/3(3) = 1.
Karena sisi kiri = sisi kanan, maka pernyataan benar untuk n=1.

2. Langkah Induksi:
Asumsikan pernyataan benar untuk n=m, yaitu:
sigma k=1^m (4^(k-1)) = 1/3(4^m - 1) (Hipotesis Induksi).

Kita harus membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n=m+1, yaitu:
sigma k=1^(m+1) (4^(k-1)) = 1/3(4^(m+1) - 1).

Ambil sisi kiri pernyataan untuk n=m+1:
sigma k=1^(m+1) (4^(k-1)) = [sigma k=1^m (4^(k-1))] + 4^((m+1)-1)
Menurut hipotesis induksi, kita substitusikan nilai sigma k=1^m (4^(k-1)):
= [1/3(4^m - 1)] + 4^m
Sekarang kita samakan penyebutnya:
= 1/3(4^m - 1) + 3/3(4^m)
= (4^m - 1 + 3 * 4^m) / 3
= (4^m + 3 * 4^m - 1) / 3
= (4 * 4^m - 1) / 3
= (4^(m+1) - 1) / 3
= 1/3(4^(m+1) - 1).

Ini sama dengan sisi kanan pernyataan untuk n=m+1. Dengan demikian, pernyataan tersebut terbukti benar untuk semua bilangan asli n menggunakan induksi matematika.