Tentukan nilai setiap limit di bawah ini dengan cara

-1

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari $\lim_{x \to \infty} (2x - 2 - \sqrt{4x^2 - 4x + 3})$ secara kreatif, kita dapat menggunakan manipulasi aljabar dengan mengalikan bentuk sekawan.

Bentuk sekawan dari $(2x - 2 - \sqrt{4x^2 - 4x + 3})$ adalah $(2x - 2 + \sqrt{4x^2 - 4x + 3})$. Namun, ini sedikit rumit. Cara yang lebih umum dan sering dianggap kreatif adalah dengan memanipulasi ekspresi agar mendekati bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ setelah substitusi tak hingga, lalu menggunakan L'Hopital's Rule atau mengalikan dengan bentuk sekawan dari ekspresi yang memiliki akar kuadrat.

Mari kita coba mengalikan dengan bentuk sekawan dari $(2x - \sqrt{4x^2 - 4x + 3})$ terlebih dahulu, dengan mengabaikan -2 sejenak, atau mengelompokkan $(2x-2)$:

Misalkan $y = 2x - 2 - \sqrt{4x^2 - 4x + 3}$.
Kita kalikan dengan sekawan dari $2x - \sqrt{4x^2 - 4x + 3}$, yaitu $2x + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}$.

Bukan, ini tidak tepat. Kita perlu mengalikan dengan sekawan dari ekspresi keseluruhan yang mengandung akar.

Cara kreatifnya adalah memanipulasi agar terlihat seperti bentuk $\infty - \infty$ yang bisa diubah.

Mari kita kelompokkan $2x-2$ sebagai satu kesatuan: $y = (2x - 2) - \sqrt{4x^2 - 4x + 3}$.
Sekawannya adalah $(2x - 2) + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}$.

$\, \lim_{x \to \infty} \left( (2x - 2) - \sqrt{4x^2 - 4x + 3} \right) \times \frac{(2x - 2) + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}}{(2x - 2) + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(2x - 2)^2 - (4x^2 - 4x + 3)}{(2x - 2) + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 - 8x + 4) - (4x^2 - 4x + 3)}{(2x - 2) + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 8x + 4 - 4x^2 + 4x - 3}{(2x - 2) + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-4x + 1}{(2x - 2) + \sqrt{4x^2 - 4x + 3}}$

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (atau $\sqrt{x^2}$):

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-4x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{2x}{x} - \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{4x^2 - 4x + 3}}{x}}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{2}{x} + \sqrt{\frac{4x^2 - 4x + 3}{x^2}}}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{2}{x} + \sqrt{4 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}}}$

Saat $x \to \infty$, suku-suku dengan $1/x$ dan $1/x^2$ akan mendekati 0.

$= \frac{-4 + 0}{2 - 0 + \sqrt{4 - 0 + 0}}$

$= \frac{-4}{2 + \sqrt{4}}$

$= \frac{-4}{2 + 2}$

$= \frac{-4}{4}$

$= -1$

Jadi, nilai limitnya adalah -1.