lim x->a (x^2+(3-a)x-3a)/(x-a)=...

a + 3

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mencari nilai dari limit:
$\lim_{x \to a} \frac{x^2 + (3-a)x - 3a}{x-a}$

Ketika kita substitusikan $x = a$ ke dalam ekspresi, pembilangnya menjadi:
$a^2 + (3-a)a - 3a = a^2 + 3a - a^2 - 3a = 0$

Pembilangnya juga menjadi $a - a = 0$. Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau faktorisasi.

**Metode 1: Faktorisasi**
Kita perlu memfaktorkan pembilang $\frac{x^2 + (3-a)x - 3a}{x-a}$.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -3a dan jika dijumlahkan menghasilkan (3-a). Bilangan tersebut adalah 3 dan -a.
Jadi, pembilang dapat difaktorkan menjadi $(x+3)(x-a)$.

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to a} \frac{(x+3)(x-a)}{x-a}$

Karena $x \to a$, maka $x \neq a$, sehingga kita bisa mencoret $(x-a)$:
$\lim_{x \to a} (x+3)$

Sekarang substitusikan $x=a$:
$a + 3$

**Metode 2: Aturan L'Hopital**
Karena substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$, kita dapat menurunkan pembilang dan penyebut terhadap x.

Turunan pembilang $\frac{d}{dx}(x^2 + (3-a)x - 3a) = 2x + (3-a)$
Turunan penyebut $\frac{d}{dx}(x-a) = 1$

Sekarang hitung limit dari hasil turunan:
$\lim_{x \to a} \frac{2x + (3-a)}{1}$

Substitusikan $x=a$:
$2a + (3-a) = 2a + 3 - a = a + 3$

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $a+3$.