Buktikan pernyataan-pernyataan berikut dengan metode

Pembuktian langsung untuk sifat bilangan ganjil dan jumlah deret aritmatika.

Pembahasan

Berikut adalah bukti pernyataan-pernyataan tersebut dengan metode langsung:

a. Bukti bahwa jika n bilangan ganjil maka n^2 merupakan bilangan ganjil:
   Metode langsung dimulai dengan asumsi bahwa n adalah bilangan ganjil. Definisi bilangan ganjil adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2k + 1, di mana k adalah bilangan bulat.
   Jadi, kita bisa menulis n = 2k + 1.
   Sekarang, kita perlu menunjukkan bahwa n^2 juga ganjil. Kita kuadratkan kedua sisi persamaan:
   n^2 = (2k + 1)^2
   n^2 = (2k + 1)(2k + 1)
   n^2 = 4k^2 + 2k + 2k + 1
   n^2 = 4k^2 + 4k + 1
   Kita dapat memfaktorkan 2 dari dua suku pertama:
   n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1
   Misalkan m = 2k^2 + 2k. Karena k adalah bilangan bulat, maka k^2 juga bilangan bulat, dan 2k^2 + 2k adalah bilangan bulat. Jadi, m adalah bilangan bulat.
   Maka, n^2 = 2m + 1.
   Ini sesuai dengan definisi bilangan ganjil. Oleh karena itu, jika n adalah bilangan ganjil, maka n^2 adalah bilangan ganjil.

b. Bukti bahwa 1+3+5+...+(2n-1)=n^2:
   Ini adalah pembuktian induksi matematika, namun jika diminta metode langsung, kita bisa melihatnya sebagai jumlah dari barisan aritmatika.
   Barisan: 1, 3, 5, ..., (2n-1)
   Ini adalah barisan aritmatika dengan:
   Suku pertama (a) = 1
   Beda (d) = 3 - 1 = 2
   Suku ke-n (Un) = 2n - 1
   Jumlah n suku pertama (Sn) dari barisan aritmatika diberikan oleh rumus:
   Sn = n/2 * (a + Un)
   Substitusikan nilai a dan Un:
   Sn = n/2 * (1 + (2n - 1))
   Sn = n/2 * (1 + 2n - 1)
   Sn = n/2 * (2n)
   Sn = n * n
   Sn = n^2
   Jadi, terbukti bahwa 1+3+5+...+(2n-1)=n^2.