Buktikan tan (45 + a) = (cos a + sin a)/(cos a - sin

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan tangen dan identitas sudut ganda, mengubah tan a menjadi sin a/cos a, dan menyederhanakan persamaan.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri tan(45° + a) = (cos a + sin a)/(cos a - sin a) = (1 + sin 2a)/(cos 2a), kita dapat memulai dengan mengubah salah satu sisi persamaan dan menyederhanakannya hingga sesuai dengan sisi lainnya.

Langkah 1: Ubah tan(45° + a) menggunakan rumus penjumlahan tangen:
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
Dengan A = 45° dan B = a, kita tahu tan 45° = 1.
Jadi, tan(45° + a) = (tan 45° + tan a) / (1 - tan 45° tan a) = (1 + tan a) / (1 - tan a).

Langkah 2: Ubah tan a menjadi sin a / cos a:
(1 + sin a / cos a) / (1 - sin a / cos a)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan cos a:
= (cos a + sin a) / (cos a - sin a).
Ini membuktikan sisi pertama persamaan.

Langkah 3: Ubah (1 + sin 2a) / (cos 2a) menggunakan identitas sudut ganda.
Kita tahu sin 2a = 2 sin a cos a dan cos 2a = cos² a - sin² a.
Juga, kita bisa menulis 1 sebagai cos² a + sin² a.
Jadi, 1 + sin 2a = cos² a + sin² a + 2 sin a cos a = (cos a + sin a)².
Dan cos 2a = cos² a - sin² a = (cos a - sin a)(cos a + sin a).

Langkah 4: Substitusikan kembali ke dalam persamaan:
(1 + sin 2a) / (cos 2a) = (cos a + sin a)² / [(cos a - sin a)(cos a + sin a)]
Sederhanakan dengan membatalkan (cos a + sin a):
= (cos a + sin a) / (cos a - sin a).

Karena kedua sisi telah dibuktikan sama, maka identitas tan(45° + a) = (cos a + sin a)/(cos a - sin a) = (1 + sin 2a)/(cos 2a) terbukti benar.