Buktikan identitas-identitas berikut. sin^4 x-cos^4 x+1=2

Terbukti

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $\sin^4 x - \cos^4 x + 1 = 2 \sin^2 x$, kita akan memanipulasi sisi kiri persamaan hingga sama dengan sisi kanan.

Sisi kiri: $\sin^4 x - \cos^4 x + 1$

Kita bisa memfaktorkan $\sin^4 x - \cos^4 x$ sebagai selisih kuadrat, yaitu $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$. Dalam kasus ini, $a = \sin^2 x$ dan $b = \cos^2 x$.

$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Kita tahu identitas dasar trigonometri bahwa $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Maka:

$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(1) = \sin^2 x - \cos^2 x$

Sekarang, substitusikan kembali ke sisi kiri persamaan awal:

Sisi kiri = $(\sin^2 x - \cos^2 x) + 1$

Kita juga tahu identitas dasar lain yang menghubungkan $\sin^2 x$ dan $\cos^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Substitusikan $\cos^2 x$ dalam persamaan sisi kiri:

Sisi kiri = $\sin^2 x - (1 - \sin^2 x) + 1$

Buka kurung:

Sisi kiri = $\sin^2 x - 1 + \sin^2 x + 1$

Gabungkan suku-suku yang sejenis:

Sisi kiri = $(\sin^2 x + \sin^2 x) + (-1 + 1)$

Sisi kiri = $2 \sin^2 x + 0$

Sisi kiri = $2 \sin^2 x$

Ini sama dengan sisi kanan persamaan.

Jadi, identitas $\sin^4 x - \cos^4 x + 1 = 2 \sin^2 x$ telah terbukti.