Diketahui Un=(Un-1) + (2Un-2) dengan U1=1 dan U2=1. Untuk

a. p=2, q=-1. b. Vn = (-1)^n. c. Un = (1/3)*(2^n - (-1)^n).

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan barisan rekursif linear homogen derajat dua.

Diketahui relasi rekursif: Un = (Un-1) + (2Un-2), dengan U1 = 1 dan U2 = 1.
Kita ingin mengubah bentuk ini menjadi bentuk karakteristik:
Un - pUn-1 = q(Un-1 - pUn-2)
atau Un = (p+q)Un-1 - pqUn-2.

a. Menentukan p dan q agar bentuk terakhir sama dengan bentuk yang diketahui:
Dengan membandingkan Un = Un-1 + 2Un-2 dengan Un = (p+q)Un-1 - pqUn-2, kita dapatkan:
p + q = 1
-pq = 2  => pq = -2

Kita perlu mencari dua bilangan yang jumlahnya 1 dan hasil kalinya -2. Bilangan-bilangan tersebut adalah 2 dan -1.
Jadi, p = 2 dan q = -1 (atau sebaliknya).

b. Menuliskan Vn = (Un) - (pUn-1) dan bentuk (*) menjadi Vn = qVn-1. Menentukan suku Vn:
Misalkan p = 2 dan q = -1.
Maka Vn = Un - 2Un-1.
Bentuk rekursif menjadi Vn = -1 * Vn-1.
Ini adalah barisan geometri dengan rasio -1.

Kita perlu mencari suku pertama dari Vn, yaitu V1:
V1 = U1 - 2U1 = 1 - 2(1) = -1.
Atau bisa juga menggunakan U2 dan U1:
V1 = U2 - 2U1 = 1 - 2(1) = -1.

Dengan demikian, suku Vn adalah barisan geometri dengan suku pertama -1 dan rasio -1:
Vn = V1 * (q)^(n-1)
Vn = -1 * (-1)^(n-1)
Vn = (-1)^1 * (-1)^(n-1)
Vn = (-1)^n

c. Menentukan Un dari Vn = (Un) - (pUn-1):
Kita punya Vn = Un - 2Un-1, dan kita tahu Vn = (-1)^n.
Jadi, Un - 2Un-1 = (-1)^n
Un = 2Un-1 + (-1)^n

Ini adalah bentuk rekursif non-homogen. Untuk mencari bentuk eksplisit Un, kita bisa menggunakan metode lain atau melanjutkan analisis dari Vn.
Dari Vn = Un - pUn-1, kita punya Un = Vn + pUn-1.
Dengan p=2 dan q=-1, Vn = (-1)^n:
Un = Vn + 2Un-1
Un = (-1)^n + 2Un-1

Mari kita cek beberapa suku:
U1 = 1
U2 = 1
U3 = U2 + 2U1 = 1 + 2(1) = 3
U4 = U3 + 2U2 = 3 + 2(1) = 5
U5 = U4 + 2U3 = 5 + 2(3) = 11

Sekarang kita gunakan Vn = (-1)^n dan Un = Vn + 2Un-1:
U1 = V1 + 2U0 (tidak bisa dihitung tanpa U0)

Mari gunakan pendekatan lain untuk menemukan Un dari Vn = Un - 2Un-1.
Kita punya Vn = (-1)^n.
Un = 2Un-1 + (-1)^n
Untuk n=1: U1 = 2U0 + (-1)^1 => 1 = 2U0 - 1 => 2U0 = 2 => U0 = 1 (Jika kita definisikan U0)
Untuk n=2: U2 = 2U1 + (-1)^2 => 1 = 2(1) + 1 => 1 = 3 (Salah. Ini menunjukkan ada kesalahan dalam asumsi atau cara mendapatkan Un dari Vn).

Mari kita gunakan fakta bahwa Un adalah solusi dari persamaan karakteristik.
Karena p=2 dan q=-1, akar-akar dari persamaan karakteristik x^2 - (p+q)x + pq = 0 adalah x^2 - x - 2 = 0, yaitu (x-2)(x+1)=0, akarnya adalah 2 dan -1.

Maka solusi umumnya adalah Un = A*(2)^n + B*(-1)^n.

Untuk n=1: U1 = 2A - B = 1
Untuk n=2: U2 = 4A + B = 1

Jumlahkan kedua persamaan:
(2A - B) + (4A + B) = 1 + 1
6A = 2
A = 1/3

Substitusikan A = 1/3 ke persamaan pertama:
2(1/3) - B = 1
2/3 - B = 1
B = 2/3 - 1
B = -1/3

Jadi, bentuk eksplisit dari Un adalah:
Un = (1/3)*(2)^n + (-1/3)*(-1)^n
Un = (1/3) * (2^n - (-1)^n)

Mari kita cek:
U1 = (1/3) * (2^1 - (-1)^1) = (1/3) * (2 - (-1)) = (1/3) * 3 = 1 (Benar)
U2 = (1/3) * (2^2 - (-1)^2) = (1/3) * (4 - 1) = (1/3) * 3 = 1 (Benar)
U3 = (1/3) * (2^3 - (-1)^3) = (1/3) * (8 - (-1)) = (1/3) * 9 = 3 (Benar)
U4 = (1/3) * (2^4 - (-1)^4) = (1/3) * (16 - 1) = (1/3) * 15 = 5 (Benar)

Jawaban:
a. p = 2 dan q = -1 (atau sebaliknya).
b. Vn = Un - 2Un-1. Vn = (-1)^n.
c. Un = (1/3) * (2^n - (-1)^n).