Buktikan untuk setiap bilangan asli n >= 4 berlaku (n+1)

Terbukti dengan induksi matematika dengan basis $n=4$ ($120>81$) dan langkah induksi $(k+2)! > (k+2)3^k > 3 imes 3^k = 3^{k+1}$ karena $k+2>3$ untuk $k i 4$.

Pembahasan

Untuk membuktikan ketidaksamaan $(n+1)! > 3^n$ untuk setiap bilangan asli $n \ge 4$ menggunakan induksi matematika:

1.  **Basis Induksi:** Periksa apakah ketidaksamaan berlaku untuk $n=4$.
    $(4+1)! = 5! = 120$
    $3^4 = 81$
    Karena $120 > 81$, basis induksi terpenuhi.

2.  **Hipotesis Induksi:** Asumsikan ketidaksamaan berlaku untuk suatu bilangan asli $k \ge 4$, yaitu $(k+1)! > 3^k$.

3.  **Langkah Induksi:** Buktikan bahwa ketidaksamaan berlaku untuk $n=k+1$, yaitu $(k+2)! > 3^{k+1}$.
    Mulai dari ruas kiri:
    $(k+2)! = (k+2) 	imes (k+1)!$
    Menggunakan hipotesis induksi ($(k+1)! > 3^k$):
    $(k+2)! > (k+2) 	imes 3^k$
    Kita perlu menunjukkan bahwa $(k+2) 	imes 3^k > 3^{k+1}$.
    Ini setara dengan menunjukkan $k+2 > 3$.
    Karena $k \ge 4$, maka $k+2 \ge 4+2 = 6$.
    Karena $6 > 3$, maka $k+2 > 3$ terpenuhi.
    Sehingga, $(k+2)! > (k+2) 	imes 3^k > 3 	imes 3^k = 3^{k+1}$.
    Jadi, $(k+2)! > 3^{k+1}$.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, ketidaksamaan $(n+1)! > 3^n$ berlaku untuk setiap bilangan asli $n \ge 4$.