Buktikanlah bahwa: cos(180-y)=-cos y

Menggunakan rumus selisih kosinus: cos(180°-y) = cos 180° cos y + sin 180° sin y = (-1)cos y + (0)sin y = -cos y.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri cos(180° - y) = -cos y, kita dapat menggunakan definisi fungsi kosinus pada lingkaran satuan atau menggunakan rumus selisih kosinus.

Metode 1: Menggunakan Lingkaran Satuan
Pada lingkaran satuan, sudut 180° terletak pada sumbu x negatif. Sudut (180° - y) berarti kita bergerak 180° dari arah positif sumbu x, lalu mundur sejauh y. Jika y adalah sudut lancip (0° < y < 90°), maka (180° - y) akan berada di kuadran kedua. Koordinat x pada lingkaran satuan merepresentasikan nilai kosinus.

Misalkan sebuah titik P pada lingkaran satuan memiliki sudut θ terhadap sumbu x positif. Koordinat P adalah (cos θ, sin θ).
Untuk sudut 180°, titiknya adalah (-1, 0).
Untuk sudut (180° - y), titiknya akan memiliki koordinat x yang merupakan negatif dari koordinat x titik yang bersesuaian dengan sudut y di kuadran pertama. Lebih tepatnya, jika kita mengambil sudut y di kuadran pertama, maka sudut (180° - y) berada di kuadran kedua. Titik pada lingkaran satuan untuk sudut y adalah (cos y, sin y). Titik untuk sudut (180° - y) memiliki koordinat x yang berlawanan tanda dengan cos y, dan koordinat y yang sama dengan sin y. Jadi, koordinat untuk sudut (180° - y) adalah (-cos y, sin y).
Oleh karena itu, cos(180° - y) = -cos y.

Metode 2: Menggunakan Rumus Selisih Kosinus
Rumus selisih kosinus adalah: cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B.
Terapkan rumus ini dengan A = 180° dan B = y:
cos(180° - y) = cos 180° cos y + sin 180° sin y.
Kita tahu bahwa:
cos 180° = -1
sin 180° = 0

Maka substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
cos(180° - y) = (-1) * cos y + (0) * sin y
cos(180° - y) = -cos y + 0
cos(180° - y) = -cos y.

Kedua metode menunjukkan bahwa cos(180° - y) memang sama dengan -cos y.