Nilai minimum f(x,y)=10x+4y yang memenuhi sistem

Nilai minimum adalah 25

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari nilai minimum dari fungsi tujuan $f(x,y) = 10x + 4y$ yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut:
1. $5x + 2y \le 80$
2. $x + 4y \ge 25$
3. $x \ge 0$
4. $y \ge 0$

Langkah pertama adalah menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ini. Kita akan mencari titik-titik potong dari garis-garis batas:

Untuk garis $5x + 2y = 80$:
Jika $x=0$, $2y = 80 
ightarrow y = 40$. Titik (0, 40).
Jika $y=0$, $5x = 80 
ightarrow x = 16$. Titik (16, 0).

Untuk garis $x + 4y = 25$:
Jika $x=0$, $4y = 25 
ightarrow y = 25/4 = 6.25$. Titik (0, 6.25).
Jika $y=0$, $x = 25$. Titik (25, 0).

Selanjutnya, kita cari titik potong antara kedua garis $5x + 2y = 80$ dan $x + 4y = 25$.
Dari persamaan kedua, $x = 25 - 4y$. Substitusikan ke persamaan pertama:
$5(25 - 4y) + 2y = 80$
$125 - 20y + 2y = 80$
$125 - 18y = 80$
$125 - 80 = 18y$
$45 = 18y$
$y = 45/18 = 5/2 = 2.5$

Substitusikan nilai y kembali ke $x = 25 - 4y$:
$x = 25 - 4(2.5)$
$x = 25 - 10$
$x = 15$

Jadi, titik potongnya adalah (15, 2.5).

Titik-titik sudut daerah penyelesaian (yang memenuhi $x \ge 0$ dan $y \ge 0$) adalah:
1. Titik potong sumbu y dari $x+4y=25$: (0, 6.25)
2. Titik potong sumbu x dari $5x+2y=80$: (16, 0)
3. Titik potong kedua garis: (15, 2.5)

Sekarang, kita substitusikan koordinat titik-titik sudut ini ke dalam fungsi tujuan $f(x,y) = 10x + 4y$:

Untuk (0, 6.25):
$f(0, 6.25) = 10(0) + 4(6.25) = 0 + 25 = 25$

Untuk (16, 0):
$f(16, 0) = 10(16) + 4(0) = 160 + 0 = 160$

Untuk (15, 2.5):
$f(15, 2.5) = 10(15) + 4(2.5) = 150 + 10 = 160$

Nilai minimum dari fungsi $f(x,y)=10x+4y$ adalah 25, yang terjadi pada titik (0, 6.25).