Buktikanlah dengan induksi matematika, bahwa

Rumus terbukti benar melalui basis induksi (n=1) dan langkah induksi.

Pembahasan

Untuk membuktikan rumus 1³+2³+3³+...+n³ = (1/4)n²(n+1)² dengan induksi matematika, kita perlu mengikuti dua langkah utama:

**Langkah 1: Basis Induksi**
Buktikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk n=1.
Untuk n=1:
Sisi kiri = 1³ = 1
Sisi kanan = (1/4)(1)²(1+1)² = (1/4)(1)(2)² = (1/4)(4) = 1
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1 = 1), maka rumus tersebut berlaku untuk n=1.

**Langkah 2: Langkah Induksi**
Asumsikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
1³+2³+3³+...+k³ = (1/4)k²(k+1)²

Kemudian, buktikan bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk n=k+1. Kita perlu menunjukkan bahwa:
1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³ = (1/4)(k+1)²((k+1)+1)²
1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³ = (1/4)(k+1)²(k+2)²

Mulai dari sisi kiri persamaan untuk n=k+1:
[1³+2³+3³+...+k³] + (k+1)³

Berdasarkan asumsi induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung siku dengan (1/4)k²(k+1)²:
(1/4)k²(k+1)² + (k+1)³

Sekarang, kita faktorkan (k+1)²:
(k+1)² [ (1/4)k² + (k+1) ]

Samakan penyebut di dalam kurung siku:
(k+1)² [ (k² + 4(k+1)) / 4 ]

Sederhanakan ekspresi di dalam kurung siku:
(k+1)² [ (k² + 4k + 4) / 4 ]

Perhatikan bahwa k² + 4k + 4 adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu (k+2)²:
(k+1)² [ (k+2)² / 4 ]

Susun ulang menjadi bentuk yang diinginkan:
(1/4)(k+1)²(k+2)²

Ini sama dengan sisi kanan persamaan untuk n=k+1.

**Kesimpulan:**
Karena rumus tersebut berlaku untuk n=1 dan jika rumus tersebut berlaku untuk n=k, maka rumus tersebut juga berlaku untuk n=k+1, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, rumus 1³+2³+3³+...+n³ = (1/4)n²(n+1)² berlaku untuk setiap n anggota bilangan asli.