Buktikanlah dengan induksi matematika! Untuk semua bilangan

Pernyataan terbukti benar dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 1/(1.2)+1/(2.3)+1/(3.4)+ . . .+1/(n(n+1))=1-n/(n+1) dengan induksi matematika, kita perlu mengikuti tiga langkah utama:

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk nilai n terkecil, yaitu n=1.

Sisi kiri (SK) untuk n=1:
1/(1(1+1)) = 1/(1*2) = 1/2

Sisi kanan (SK) untuk n=1:
1 - 1/(1+1) = 1 - 1/2 = 1/2

Karena SK = SL, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Kita asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, di mana k >= 1. Yaitu, kita asumsikan bahwa:
1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + ... + 1/(k(k+1)) = 1 - k/(k+1)

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita harus menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n=k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, kita harus membuktikan bahwa:
1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + ... + 1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = 1 - (k+1)/((k+1)+1)

Mari kita mulai dengan sisi kiri pernyataan untuk n=k+1 dan gunakan asumsi induksi:
SK (untuk n=k+1) = [1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(k(k+1))] + 1/((k+1)(k+2))

Berdasarkan asumsi induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung siku:
SK = [1 - k/(k+1)] + 1/((k+1)(k+2))

Sekarang, kita sederhanakan ekspresi ini untuk melihat apakah sama dengan sisi kanan untuk n=k+1, yaitu 1 - (k+1)/(k+2).

SK = 1 - k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))

Untuk menjumlahkan pecahan, kita cari penyebut bersama, yaitu (k+1)(k+2):
SK = 1 - [k(k+2)]/[(k+1)(k+2)] + 1/[(k+1)(k+2)]
SK = 1 - [(k^2 + 2k) - 1]/[(k+1)(k+2)]
SK = 1 - (k^2 + 2k - 1)/((k+1)(k+2))

Mari kita periksa kembali manipulasi aljabarnya.
Lebih mudah jika kita menggabungkan dulu kedua suku pecahan:
SK = 1 + [-k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))]

Penyebut bersama untuk -k/(k+1) dan 1/((k+1)(k+2)) adalah (k+1)(k+2).

SK = 1 + [-k(k+2) + 1]/[(k+1)(k+2)]
SK = 1 + [-(k^2 + 2k) + 1]/[(k+1)(k+2)]
SK = 1 + [-k^2 - 2k + 1]/[(k+1)(k+2)]

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau dalam pemahaman saya mengenai bentuk akhir yang diharapkan. Mari kita cek ulang sisi kanan untuk n=k+1:
SL (untuk n=k+1) = 1 - (k+1)/((k+1)+1) = 1 - (k+1)/(k+2)

Sekarang, mari kita coba ubah bentuk suku kedua pada SK agar sesuai dengan SL:
- k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
Kita ingin ini menjadi -(k+1)/(k+2) + 1/(k+1)(k+2)? Tidak.

Mari kita coba manipulasi ekspresi SK = 1 - k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2)) agar menjadi 1 - (k+1)/(k+2).

SK = 1 + [-k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))]
SK = 1 + [(-k(k+2) + 1)] / [(k+1)(k+2)]
SK = 1 + [-k^2 - 2k + 1] / [(k+1)(k+2)]

Sekarang, mari kita periksa sisi kanan yang kita inginkan: 1 - (k+1)/(k+2).
Untuk menyamakannya, kita ubah 1 menjadi (k+2)/(k+2):
SL = (k+2)/(k+2) - (k+1)/(k+2) = (k+2 - (k+1))/(k+2) = (k+2-k-1)/(k+2) = 1/(k+2).

Ini berarti sisi kanan yang diharapkan adalah 1/(k+2), bukan 1 - (k+1)/(k+2).
Ada kemungkinan bentuk soal yang diberikan di awal salah.

Mari kita cek kembali bentuk umum suku ke-n dari deret tersebut:
U_n = 1/(n(n+1))
Dengan menggunakan dekomposisi pecahan parsial:
1/(n(n+1)) = A/n + B/(n+1)
1 = A(n+1) + Bn
Jika n=0, 1 = A(1) => A=1
Jika n=-1, 1 = B(-1) => B=-1

Maka, U_n = 1/n - 1/(n+1).

Sekarang kita jumlahkan menggunakan deret teleskopik:
S_n = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1))
Semua suku tengah akan saling menghilangkan:
S_n = 1/1 - 1/(n+1)
S_n = 1 - 1/(n+1)

Jadi, bentuk yang benar untuk jumlah deret tersebut adalah S_n = 1 - 1/(n+1).

Dengan demikian, pernyataan yang seharusnya dibuktikan adalah:
1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + ... + 1/(n(n+1)) = 1 - 1/(n+1).

Mari kita buktikan bentuk yang benar ini dengan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
SK (n=1) = 1/(1(1+1)) = 1/2
SL (n=1) = 1 - 1/(1+1) = 1 - 1/2 = 1/2.
Benar untuk n=1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan benar untuk n=k:
1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(k(k+1)) = 1 - 1/(k+1)

Langkah 3: Langkah Induksi
Buktikan benar untuk n=k+1:
1/(1.2) + ... + 1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = 1 - 1/((k+1)+1)

SK (untuk n=k+1) = [1/(1.2) + ... + 1/(k(k+1))] + 1/((k+1)(k+2))
SK = [1 - 1/(k+1)] + 1/((k+1)(k+2))
SK = 1 + [-1/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))]
SK = 1 + [-(k+2) + 1] / [(k+1)(k+2)]
SK = 1 + [-k - 2 + 1] / [(k+1)(k+2)]
SK = 1 + [-k - 1] / [(k+1)(k+2)]
SK = 1 - (k+1) / [(k+1)(k+2)]
SK = 1 - 1/(k+2)

Ini sama dengan sisi kanan untuk n=k+1. Jadi, pernyataan terbukti benar.

Kesimpulan:
Pernyataan asli yang diberikan dalam soal (1-n/(n+1)) tampaknya mengandung kesalahan penulisan. Bentuk yang benar adalah 1 - 1/(n+1).

Jika kita harus menjawab berdasarkan soal persis seperti yang tertulis:
Kita perlu membuktikan 1/(1.2)+...+1/(n(n+1)) = 1-n/(n+1).
Kita tahu bahwa jumlah deretnya adalah 1 - 1/(n+1).
Jadi, kita perlu membuktikan bahwa 1 - 1/(n+1) = 1 - n/(n+1).
Ini hanya benar jika -1/(n+1) = -n/(n+1), yang berarti n=1.
Jadi, pernyataan asli hanya berlaku untuk n=1.

Asumsi: Soal dimaksudkan untuk membuktikan S_n = 1 - 1/(n+1).

Bukti dengan induksi matematika untuk 1/(1.2)+1/(2.3)+...+1/(n(n+1))=1-1/(n+1):
1. Basis Induksi (n=1): 1/(1*2) = 1/2. 1 - 1/(1+1) = 1 - 1/2 = 1/2. Benar.
2. Asumsi Induksi: Asumsikan benar untuk n=k, yaitu S_k = 1 - 1/(k+1).
3. Langkah Induksi: Buktikan benar untuk n=k+1.
S_{k+1} = S_k + U_{k+1} = (1 - 1/(k+1)) + 1/((k+1)(k+2))
S_{k+1} = 1 + [-1/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))]
S_{k+1} = 1 + [-(k+2) + 1] / [(k+1)(k+2)]
S_{k+1} = 1 + [-k-1] / [(k+1)(k+2)]
S_{k+1} = 1 - (k+1) / [(k+1)(k+2)]
S_{k+1} = 1 - 1/(k+2).
Ini sesuai dengan bentuk 1 - 1/((k+1)+1).

Jadi, pernyataan terbukti benar untuk bentuk yang diperbaiki.