Buktikanlah setiap identitas trigonometri berikut ini:

Identitas terbukti dengan mengubah sisi kanan (csc b + cot b)^2 menjadi (1 + cos b) / (1 - cos b) menggunakan substitusi csc b = 1/sin b, cot b = cos b/sin b, dan sin^2 b = 1 - cos^2 b.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri (1+cos b)/(1-cos b)=(csc b+cot b)^2, kita akan memulai dari salah satu sisi dan mengubahnya hingga sama dengan sisi lainnya.

Mari kita ubah sisi kanan identitas:
(csc b + cot b)^2

Kita tahu bahwa csc b = 1/sin b dan cot b = cos b/sin b.
Substitusikan nilai-nilai ini:
(1/sin b + cos b/sin b)^2

Gabungkan pecahan di dalam kurung karena penyebutnya sama:
((1 + cos b)/sin b)^2

Kuadratkan pembilang dan penyebutnya:
(1 + cos b)^2 / sin^2 b

Kita tahu identitas trigonometri dasar: sin^2 b + cos^2 b = 1. Maka, sin^2 b = 1 - cos^2 b.
Ganti sin^2 b di penyebut:
(1 + cos b)^2 / (1 - cos^2 b)

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah selisih dua kuadrat, yaitu 1^2 - cos^2 b = (1 - cos b)(1 + cos b).
Ganti penyebutnya:
(1 + cos b)^2 / [(1 - cos b)(1 + cos b)]

Sederhanakan dengan membatalkan satu faktor (1 + cos b) dari pembilang dan penyebut:
(1 + cos b) / (1 - cos b)

Ini sama dengan sisi kiri identitas. Dengan demikian, identitas terbukti.