Carilah Nilai Limit Berikut: limit x->6

6

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan manipulasi aljabar. Limit yang diberikan adalah: limit x->6 ((x-2)^1/2-(10-x)^1/2)/((6x)^1/2-(5x+6)^1/2)

Jika kita substitusikan x=6 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Pembilang: (6-2)^1/2 - (10-6)^1/2 = 4^1/2 - 4^1/2 = 2 - 2 = 0.
Penyebut: (6*6)^1/2 - (5*6+6)^1/2 = 36^1/2 - 36^1/2 = 6 - 6 = 0.

Kita akan menggunakan aturan L'Hopital atau mengalikan dengan akar sekawan.
Mari kita gunakan perkalian dengan akar sekawan untuk pembilang dan penyebut.

Akar sekawan pembilang: (x-2)^1/2 + (10-x)^1/2
Akar sekawan penyebut: (6x)^1/2 + (5x+6)^1/2

Limit = limit x->6 [((x-2)^1/2-(10-x)^1/2) * ((x-2)^1/2 + (10-x)^1/2) * ((6x)^1/2 + (5x+6)^1/2)] / [((6x)^1/2-(5x+6)^1/2) * ((x-2)^1/2 + (10-x)^1/2) * ((6x)^1/2 + (5x+6)^1/2)]

Limit = limit x->6 [((x-2) - (10-x)) * ((6x)^1/2 + (5x+6)^1/2)] / [((6x) - (5x+6)) * ((x-2)^1/2 + (10-x)^1/2)]

Limit = limit x->6 [(2x-12) * ((6x)^1/2 + (5x+6)^1/2)] / [(x-6) * ((x-2)^1/2 + (10-x)^1/2)]

Limit = limit x->6 [2(x-6) * ((6x)^1/2 + (5x+6)^1/2)] / [(x-6) * ((x-2)^1/2 + (10-x)^1/2)]

Kita bisa membatalkan (x-6).

Limit = limit x->6 [2 * ((6x)^1/2 + (5x+6)^1/2)] / [((x-2)^1/2 + (10-x)^1/2)]

Sekarang substitusikan x=6:
Limit = [2 * ((6*6)^1/2 + (5*6+6)^1/2)] / [((6-2)^1/2 + (10-6)^1/2)]
Limit = [2 * (36^1/2 + 36^1/2)] / [(4^1/2 + 4^1/2)]
Limit = [2 * (6 + 6)] / [(2 + 2)]
Limit = [2 * 12] / [4]
Limit = 24 / 4
Limit = 6

Jawaban: 6