Pada DG berikut ini : a) Jika a=5, r=3, n=8, hitung Sn b)

a) 16400, b) 765/16

Pembahasan

Untuk menghitung jumlah n suku pertama (Sn) dari sebuah barisan geometri, kita menggunakan rumus:
$$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $$ 
atau
$$ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} $$ 
(digunakan jika $|r| < 1$)
di mana:
- $a$ adalah suku pertama
- $r$ adalah rasio barisan
- $n$ adalah jumlah suku

Bagian a) Jika $a=5$, $r=3$, $n=8$, hitung $S_n$.
Dalam kasus ini, $r = 3 > 1$, jadi kita gunakan rumus pertama.
$$ S_8 = \frac{5(3^8 - 1)}{3 - 1} $$ 

Langkah 1: Hitung $3^8$.
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
$3^8 = 6561$

Langkah 2: Substitusikan nilai ke dalam rumus.
$$ S_8 = \frac{5(6561 - 1)}{2} = \frac{5(6560)}{2} $$ 

Langkah 3: Lakukan perhitungan.
$$ S_8 = 5 \times 3280 = 16400 $$ 

Jadi, untuk $a=5$, $r=3$, $n=8$, nilai $S_8$ adalah 16400.

Bagian b) Jika $a=24$, $r=1/2$, $n=8$, hitung $S_n$.
Dalam kasus ini, $r = 1/2 < 1$, jadi kita bisa menggunakan salah satu rumus, namun lebih praktis menggunakan rumus kedua agar penyebutnya positif.
$$ S_8 = \frac{24(1 - (1/2)^8)}{1 - 1/2} $$ 

Langkah 1: Hitung $(1/2)^8$.
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1^8}{2^8} = \frac{1}{256} $$ 

Langkah 2: Substitusikan nilai ke dalam rumus.
$$ S_8 = \frac{24(1 - \frac{1}{256})}{\frac{1}{2}} $$ 

Langkah 3: Lakukan perhitungan.
$$ S_8 = \frac{24(\frac{256 - 1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{24(\frac{255}{256})}{\frac{1}{2}} $$ 
$$ S_8 = 24 \times \frac{255}{256} \times 2 = 48 \times \frac{255}{256} $$ 

Sederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan terbesar. 48 dan 256 keduanya bisa dibagi 16.
$48 / 16 = 3$
$256 / 16 = 16$
$$ S_8 = 3 \times \frac{255}{16} = \frac{765}{16} $$ 

Jadi, untuk $a=24$, $r=1/2$, $n=8$, nilai $S_8$ adalah $\frac{765}{16}$ atau $47.8125$.