Carilah persamaan garis yang melalui titik pusat lingkaran

y = 4x - 11

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis yang melalui titik pusat lingkaran dan memiliki gradien yang sama dengan jari-jari lingkaran, kita perlu melakukan beberapa langkah:

Langkah 1: Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan yang diberikan.
Persamaan lingkaran: x^2 - 4x + y^2 + 6y = 3
Untuk menemukan pusat dan jari-jari, kita ubah persamaan ini ke bentuk standar (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 dengan melengkapkan kuadrat.

Kelompokkan suku x dan suku y:
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3

Lengkapkan kuadrat untuk suku x:
(x^2 - 4x + (-4/2)^2) = (x^2 - 4x + 4) = (x - 2)^2
Kita menambahkan 4 ke kedua sisi persamaan.

Lengkapkan kuadrat untuk suku y:
(y^2 + 6y + (6/2)^2) = (y^2 + 6y + 9) = (y + 3)^2
Kita menambahkan 9 ke kedua sisi persamaan.

Persamaan menjadi:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16

Dari bentuk standar ini, kita dapatkan:
Titik pusat lingkaran (h, k) = (2, -3).
Jari-jari lingkaran kuadrat (r^2) = 16, sehingga jari-jari (r) = sqrt(16) = 4.

Langkah 2: Tentukan gradien garis.
Gradien (m) garis adalah sama dengan jari-jari lingkaran.
m = r = 4.

Langkah 3: Tentukan persamaan garis yang melalui titik pusat (2, -3) dengan gradien m = 4.
Kita gunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1).
y - (-3) = 4(x - 2)
y + 3 = 4x - 8

Susun ulang persamaan untuk mendapatkan bentuk standar (misalnya, y = mx + c atau Ax + By + C = 0).
y = 4x - 8 - 3
y = 4x - 11

Atau dalam bentuk Ax + By + C = 0:
4x - y - 11 = 0.

Jadi, persamaan garis yang melalui titik pusat lingkaran x^2 - 4x + y^2 + 6y = 3 dan gradiennya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut adalah y = 4x - 11.