Carilah semua penyelesaian real (x, y) dari sistem

Solusi real adalah (1, -1) dan (-2.6, -4.6). Grafik menunjukkan titik potong hiperbola dan garis.

Pembahasan

Sistem persamaan yang diberikan adalah:
1) 4x^2 - 9y^2 - 8x - 36y = 23 (Persamaan Kuadrat)
2) x - y - 2 = 0 (Persamaan Linear)

Dari persamaan linear (2), kita dapat mengekspresikan x dalam bentuk y: x = y + 2.

Selanjutnya, substitusikan ekspresi x ini ke dalam persamaan kuadrat (1):
4(y + 2)^2 - 9y^2 - 8(y + 2) - 36y = 23
4(y^2 + 4y + 4) - 9y^2 - 8y - 16 - 36y = 23
4y^2 + 16y + 16 - 9y^2 - 8y - 16 - 36y = 23

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
(4y^2 - 9y^2) + (16y - 8y - 36y) + (16 - 16) = 23
-5y^2 - 28y = 23

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat standar:
-5y^2 - 28y - 23 = 0

Kalikan dengan -1 agar koefisien y^2 positif:
5y^2 + 28y + 23 = 0

Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus abc: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 5, b = 28, c = 23.

Diskriminan (D) = b^2 - 4ac = 28^2 - 4(5)(23) = 784 - 460 = 324

Karena D > 0, terdapat dua solusi real untuk y:
y1 = [-28 + sqrt(324)] / (2 * 5) = [-28 + 18] / 10 = -10 / 10 = -1
y2 = [-28 - sqrt(324)] / (2 * 5) = [-28 - 18] / 10 = -46 / 10 = -4.6

Sekarang, substitusikan nilai-nilai y kembali ke persamaan x = y + 2 untuk mencari nilai x yang bersesuaian:
Untuk y1 = -1:
x1 = -1 + 2 = 1
Jadi, solusi pertama adalah (1, -1).

Untuk y2 = -4.6:
x2 = -4.6 + 2 = -2.6
Jadi, solusi kedua adalah (-2.6, -4.6).

Untuk melukiskan sketsa grafik:
Persamaan pertama, 4x^2 - 9y^2 - 8x - 36y = 23, adalah persamaan hiperbola. Kita bisa menuliskannya dalam bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:
4(x^2 - 2x) - 9(y^2 + 4y) = 23
4(x^2 - 2x + 1 - 1) - 9(y^2 + 4y + 4 - 4) = 23
4(x - 1)^2 - 4 - 9(y + 2)^2 + 36 = 23
4(x - 1)^2 - 9(y + 2)^2 = 23 + 4 - 36
4(x - 1)^2 - 9(y + 2)^2 = -9

Bagi kedua sisi dengan -9:
(9(y + 2)^2) / 9 - (4(x - 1)^2) / 9 = 1
(y + 2)^2 - (x - 1)^2 / (9/4) = 1
Ini adalah persamaan hiperbola vertikal dengan pusat di (1, -2).

Persamaan kedua, x - y - 2 = 0 atau y = x - 2, adalah persamaan garis lurus dengan gradien 1 dan memotong sumbu y di -2.

Sketsa grafik akan menunjukkan kedua titik potong antara hiperbola dan garis lurus tersebut, yaitu di (1, -1) dan (-2.6, -4.6).