M K L l k mDiketahui segitiga KLM siku-siku di L seperti

Kedua identitas trigonometri terbukti benar menggunakan definisi sinus, kosinus, tangen, dan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk membuktikan dua identitas trigonometri dasar pada segitiga siku-siku KLM yang siku-siku di L.

Diketahui segitiga KLM siku-siku di L.
Ini berarti sudut L = 90 derajat.

Notasi sisi:
- Sisi KL berhadapan dengan sudut M, kita sebut sisi m.
- Sisi LM berhadapan dengan sudut K, kita sebut sisi k.
- Sisi KM berhadapan dengan sudut L, ini adalah sisi miring (hipotenusa), kita sebut sisi l.

Menurut Teorema Pythagoras: l^2 = m^2 + k^2.

a. Buktikan sin^2 K + cos^2 K = 1

Dalam segitiga siku-siku:
- Sinus sudut adalah perbandingan sisi di depan sudut dengan sisi miring.
  sin K = sisi di depan K / sisi miring = LM / KM = k / l
- Cosinus sudut adalah perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi miring.
  cos K = sisi di samping K / sisi miring = KL / KM = m / l

Sekarang kita substitusikan ke dalam identitas yang akan dibuktikan:
sin^2 K + cos^2 K = (k/l)^2 + (m/l)^2
= k^2/l^2 + m^2/l^2
= (k^2 + m^2) / l^2

Karena segitiga KLM siku-siku di L, menurut Teorema Pythagoras, berlaku l^2 = k^2 + m^2.
Substitusikan k^2 + m^2 dengan l^2:
= l^2 / l^2
= 1

Jadi, terbukti bahwa sin^2 K + cos^2 K = 1.

b. Buktikan tan M = sin M / cos M

Dalam segitiga siku-siku:
- Tangen sudut adalah perbandingan sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut.
  tan M = sisi di depan M / sisi di samping M = KL / LM = m / k

Sekarang kita hitung sin M dan cos M:
- sin M = sisi di depan M / sisi miring = KL / KM = m / l
- cos M = sisi di samping M / sisi miring = LM / KM = k / l

Sekarang kita hitung sin M / cos M:
sin M / cos M = (m/l) / (k/l)
= (m/l) * (l/k)
= m/k

Kita lihat bahwa tan M = m/k dan sin M / cos M = m/k.

Jadi, terbukti bahwa tan M = sin M / cos M.

Kesimpulan:
Kedua identitas trigonometri dasar tersebut terbukti benar untuk segitiga siku-siku KLM yang siku-siku di L.