Diketahui koordinat titik A(-2,0,1), B(x, 3,-1), dan C(6,

29

Pembahasan

Diketahui koordinat titik A(-2,0,1), B(x, 3,-1), dan C(6, x+y,-3). Ketiga titik ini segaris (kolinear), yang berarti vektor AB dan vektor BC searah atau berlawanan arah, dan dapat dinyatakan sebagai kelipatan skalar satu sama lain. Vektor AB dapat dihitung sebagai B - A, dan vektor BC sebagai C - B.

Vektor AB = (x - (-2), 3 - 0, -1 - 1) = (x + 2, 3, -2)
Vektor BC = (6 - x, (x + y) - 3, -3 - (-1)) = (6 - x, x + y - 3, -2)

Karena A, B, dan C segaris, maka vektor AB = k * vektor BC untuk suatu skalar k, atau vektor AB dan vektor BC memiliki komponen yang sebanding.

Mari kita gunakan perbandingan komponen-komponen:

Komponen x: x + 2 = k(6 - x)
Komponen y: 3 = k(x + y - 3)
Komponen z: -2 = k(-2)  => k = 1

Karena k = 1, maka vektor AB = vektor BC. Ini berarti titik B adalah titik tengah antara A dan C jika komponen-komponennya sama persis. Namun, kita hanya tahu mereka segaris, jadi perbandingan komponennya harus sama.

Karena k = 1, kita bisa menyamakan komponen yang sesuai:

Komponen x: x + 2 = 6 - x
2x = 4
x = 2

Komponen y: 3 = x + y - 3
Karena kita sudah menemukan x = 2, substitusikan nilai x:
3 = 2 + y - 3
3 = y - 1
y = 4

Komponen z: -2 = -2 (Ini sudah terverifikasi dengan k=1).

Jadi, nilai x = 2 dan y = 4.

Sekarang kita perlu menentukan nilai vektor AB.BC. Vektor AB dan BC searah (k=1), sehingga produk titik (dot product) dari vektor AB dan BC adalah:

Vektor AB = (x + 2, 3, -2) = (2 + 2, 3, -2) = (4, 3, -2)
Vektor BC = (6 - x, x + y - 3, -2) = (6 - 2, 2 + 4 - 3, -2) = (4, 3, -2)

Vektor AB.BC = (4)(4) + (3)(3) + (-2)(-2)
Vektor AB.BC = 16 + 9 + 4
Vektor AB.BC = 29

Namun, jika yang dimaksud adalah hasil perkalian vektor AB dengan vektor BC (bukan perkalian skalar), maka ini tidak terdefinisi dalam konteks perkalian titik atau silang standar untuk vektor 3D tunggal.
Jika yang dimaksud adalah perkalian skalar antara vektor AB dan vektor BC, maka jawabannya adalah 29.

Jika pertanyaan mengacu pada perkalian vektor, kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau maksudnya adalah hasil perkalian skalar (dot product). Mengasumsikan yang dimaksud adalah perkalian skalar AB · BC:

Koordinat B adalah (2, 3, -1).
Koordinat C adalah (6, 2+4, -3) = (6, 6, -3).

Vektor AB = B - A = (2 - (-2), 3 - 0, -1 - 1) = (4, 3, -2).
Vektor BC = C - B = (6 - 2, 6 - 3, -3 - (-1)) = (4, 3, -2).

Perkalian skalar AB · BC = (4 * 4) + (3 * 3) + (-2 * -2) = 16 + 9 + 4 = 29.