(cos 3x+cos x)/(sin 3x+sin x)=...

(cos 3x + cos x) / (sin 3x + sin x) = cot(2x).

Pembahasan

Kita perlu menyederhanakan ekspresi \frac{\cos 3x + \cos x}{\sin 3x + \sin x}.

Kita akan menggunakan identitas penjumlahan sudut:
1.  $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
2.  $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Dalam kasus ini, A = 3x dan B = x.

Menerapkan identitas pada pembilang:
$\cos 3x + \cos x = 2 \cos\left(\frac{3x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-x}{2}\right)$
$\cos 3x + \cos x = 2 \cos\left(\frac{4x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x}{2}\right)$
$\cos 3x + \cos x = 2 \cos(2x) \cos(x)$

Menerapkan identitas pada penyebut:
$\sin 3x + \sin x = 2 \sin\left(\frac{3x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-x}{2}\right)$
$\sin 3x + \sin x = 2 \sin\left(\frac{4x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x}{2}\right)$
$\sin 3x + \sin x = 2 \sin(2x) \cos(x)$

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam ekspresi awal:
\frac{\cos 3x + \cos x}{\sin 3x + \sin x} = \frac{2 \cos(2x) \cos(x)}{2 \sin(2x) \cos(x)}

Kita dapat membatalkan \(2\cos(x)\) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi \(\cos(x) \neq 0\)):
\frac{\cos 3x + \cos x}{\sin 3x + \sin x} = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}

Kita tahu bahwa \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta\).
Jadi, \(\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \cot(2x)\).

Oleh karena itu, \(\frac{\cos 3x + \cos x}{\sin 3x + \sin x} = \cot(2x)\).