(cos phi-cos 3phi)/(sin 3phi-sin phi)= ....

\(\tan(2\phi)\)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi \(\frac{\cos \phi - \cos 3\phi}{\sin 3\phi - \sin \phi}\), kita dapat menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan untuk fungsi trigonometri:

Rumus yang relevan:
1. \(\cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\)
2. \(\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\)

Dalam ekspresi kita, kita bisa menganggap \(A = 3\phi\) dan \(B = \phi\) untuk penyebut, dan \(A = \phi\) dan \(B = 3\phi\) untuk pembilang agar sesuai dengan bentuk rumus.

Mari kita terapkan pada pembilang: \(\cos \phi - \cos 3\phi\)
Gunakan rumus 1 dengan \(A = \phi\) dan \(B = 3\phi\):
\(\cos \phi - \cos 3\phi = -2 \sin \left(\frac{\phi+3\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{\phi-3\phi}{2}\right)\)
\(= -2 \sin \left(\frac{4\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{-2\phi}{2}\right)\)
\(= -2 \sin(2\phi) \sin(-\phi)\)
Karena \(\sin(-\phi) = -\sin(\phi)\):
\(= -2 \sin(2\phi) (-\sin(\phi))\)
\(= 2 \sin(2\phi) \sin(\phi)\)

Sekarang terapkan pada penyebut: \(\sin 3\phi - \sin \phi\)
Gunakan rumus 2 dengan \(A = 3\phi\) dan \(B = \phi\):
\(\sin 3\phi - \sin \phi = 2 \cos \left(\frac{3\phi+\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{3\phi-\phi}{2}\right)\)
\(= 2 \cos \left(\frac{4\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{2\phi}{2}\right)\)
\(= 2 \cos(2\phi) \sin(\phi)\)

Sekarang gabungkan pembilang dan penyebut:
\(\frac{\cos \phi - \cos 3\phi}{\sin 3\phi - \sin \phi} = \frac{2 \sin(2\phi) \sin(\phi)}{2 \cos(2\phi) \sin(\phi)}\)

Kita bisa membatalkan \(2\) dan \(\sin(\phi)\) (dengan asumsi \(\sin(\phi) \neq 0\)):
\(= \frac{\sin(2\phi)}{\cos(2\phi)}\)

Menggunakan identitas \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\):
\(= \tan(2\phi)\)

Jadi, \(\frac{\cos \phi - \cos 3\phi}{\sin 3\phi - \sin \phi} = \tan(2\phi)\).