Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan y>=x^2+4x-5 dan

a >= 3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai 'a' yang memenuhi daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan y >= x^2 + 4x - 5 dan y <= a - 3x^2 pada rentang -2 <= x <= 1, kita perlu memastikan bahwa kedua kurva tersebut berpotongan atau bersinggungan sedemikian rupa sehingga daerah di antara keduanya ada dalam rentang x yang diberikan.

Kondisi agar kedua kurva tersebut memiliki daerah penyelesaian adalah ketika kurva atas (y = a - 3x^2) berada di atas atau sama dengan kurva bawah (y = x^2 + 4x - 5) dalam rentang yang ditentukan. Ini berarti a - 3x^2 >= x^2 + 4x - 5.

a >= 4x^2 + 4x - 5.

Kita perlu mencari nilai minimum dari fungsi f(x) = 4x^2 + 4x - 5 pada interval -2 <= x <= 1, karena 'a' harus lebih besar atau sama dengan nilai minimum ini agar pertidaksamaan tersebut selalu terpenuhi di seluruh interval.

Untuk mencari nilai minimum f(x), kita cari turunan pertamanya:
f'(x) = 8x + 4.
Samakan dengan nol untuk mencari titik stasioner:
8x + 4 = 0
8x = -4
x = -1/2.

Karena -1/2 berada dalam interval [-2, 1], kita evaluasi f(x) di titik stasioner dan di batas interval:
f(-1/2) = 4(-1/2)^2 + 4(-1/2) - 5 = 4(1/4) - 2 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6.
f(-2) = 4(-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4(4) - 8 - 5 = 16 - 8 - 5 = 3.
f(1) = 4(1)^2 + 4(1) - 5 = 4 + 4 - 5 = 3.

Nilai minimum dari f(x) pada interval [-2, 1] adalah -6.
Agar daerah penyelesaian selalu memenuhi, nilai 'a' harus lebih besar atau sama dengan nilai minimum dari 4x^2 + 4x - 5 pada interval tersebut. Oleh karena itu, a >= -6.

Namun, soal meminta nilai 'a' agar daerah penyelesaian memenuhi, yang menyiratkan bahwa kita mencari nilai 'a' sedemikian rupa sehingga ada nilai x dalam rentang [-2, 1] yang memenuhi kedua pertidaksamaan. Ini terjadi ketika kurva y = a - 3x^2 berada di atas atau memotong kurva y = x^2 + 4x - 5.

Jadi, kita perlu a - 3x^2 >= x^2 + 4x - 5 untuk setidaknya satu x dalam [-2, 1].
Ini berarti a >= 4x^2 + 4x - 5.
Untuk memastikan bahwa ada nilai 'a' yang memenuhi, kita perlu mencari nilai maksimum dari 4x^2 + 4x - 5 pada interval [-2, 1].
Nilai maksimum dari f(x) = 4x^2 + 4x - 5 pada interval [-2, 1] adalah 3 (terjadi di x = -2 dan x = 1).
Jadi, agar ada daerah penyelesaian, nilai 'a' harus lebih besar atau sama dengan nilai minimum fungsi selisihnya, yang berarti a >= -6. Jika kita mencari nilai 'a' agar daerah penyelesaian *selalu* memenuhi, maka a >= 3. Jika kita mencari nilai 'a' agar *terdapat* daerah penyelesaian, maka nilai 'a' harus lebih besar atau sama dengan nilai minimum dari batas atas, yang akan ditentukan oleh nilai maksimum dari batas bawah pada interval tersebut. Jika soal mengartikan bahwa kedua kurva harus bersinggungan atau berpotongan dalam interval tersebut, maka nilai 'a' harus sedemikian rupa sehingga a - 3x^2 >= x^2 + 4x - 5 setidaknya di satu titik. Maka a >= 4x^2 + 4x - 5. Nilai maksimum dari 4x^2 + 4x - 5 pada [-2, 1] adalah 3. Jadi nilai a yang memenuhi adalah a >= 3.

Jika kita menginterpretasikan soal bahwa daerah penyelesaian *terdefinisi* (yaitu, ada nilai x dalam [-2, 1] di mana y dari parabola atas lebih besar atau sama dengan y dari parabola bawah), maka nilai 'a' harus cukup besar. Agar daerah penyelesaian *memenuhi* kondisi -2 <= x <= 1, kita perlu memastikan bahwa ada rentang x di mana a - 3x^2 >= x^2 + 4x - 5. Ini terjadi jika nilai maksimum dari x^2 + 4x - 5 pada interval [-2, 1] kurang dari atau sama dengan nilai minimum dari a - 3x^2 pada interval yang sama. Namun, ini terlalu rumit. Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari nilai 'a' agar titik potongnya ada dalam interval atau agar kurva atas selalu di atas kurva bawah. Kita cari nilai 'a' agar kedua kurva tersebut berpotongan, yaitu x^2 + 4x - 5 = a - 3x^2 => 4x^2 + 4x - 5 = a. Agar ada solusi x dalam [-2, 1], nilai 'a' harus berada di antara nilai minimum dan maksimum dari 4x^2 + 4x - 5 pada interval tersebut. Nilai minimumnya adalah -6 (di x=-1/2) dan nilai maksimumnya adalah 3 (di x=-2 dan x=1). Jadi, agar ada solusi, -6 <= a <= 3. Namun, soal biasanya mencari nilai konstanta agar suatu kondisi terpenuhi. Jika daerah penyelesaian *memenuhi* -2<=x<=1, ini berarti kita harus memiliki a - 3x^2 >= x^2 + 4x - 5 untuk semua x di [-2, 1]. Ini berarti a >= 4x^2 + 4x - 5 untuk semua x di [-2, 1]. Nilai terbesar dari 4x^2 + 4x - 5 pada interval ini adalah 3. Jadi, a >= 3. Jika soal mengartikan bahwa *setidaknya ada satu nilai x* dalam interval tersebut yang memenuhi, maka a >= nilai minimum dari 4x^2 + 4x - 5, yaitu a >= -6.