Daerah yang diarsir pada gambar merupakan daerah himpunan

Nilai minimum f(x,y)=4x+3y adalah 0.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan mencari nilai minimum fungsi objektif dari sistem pertidaksamaan linear yang direpresentasikan oleh daerah yang diarsir pada sebuah grafik.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah:
1.  **Menentukan Persamaan Garis dari Batas Daerah:
    *   Garis yang melalui (0, 30) dan (15, 0): Gradien (m) = (0 - 30) / (15 - 0) = -2. Persamaan garis: y - 0 = -2(x - 15) => y = -2x + 30 => 2x + y = 30.
    *   Garis yang melalui (0, 12) dan (24, 0): Gradien (m) = (0 - 12) / (24 - 0) = -1/2. Persamaan garis: y - 0 = -1/2(x - 24) => y = -1/2x + 12 => x + 2y = 24.
    *   Garis sumbu Y (x=0) dan sumbu X (y=0) juga menjadi batas.

2.  **Menentukan Sistem Pertidaksamaan:
    Karena daerah yang diarsir berada di bawah garis 2x + y = 30 dan di bawah garis x + 2y = 24, serta di kuadran pertama (x ≥ 0, y ≥ 0), maka sistem pertidaksamaannya adalah:
    *   2x + y ≤ 30
    *   x + 2y ≤ 24
    *   x ≥ 0
    *   y ≥ 0

3.  **Mencari Titik-Titik Sudut (Titik Optimum) dari Daerah yang Diarsir:
    *   Titik A: Perpotongan sumbu y dan garis x + 2y = 24 => (0, 12)
    *   Titik B: Perpotongan sumbu x dan garis 2x + y = 30 => (15, 0)
    *   Titik C: Perpotongan garis 2x + y = 30 dan x + 2y = 24.
        Dari 2x + y = 30, maka y = 30 - 2x.
        Substitusikan ke x + 2y = 24:
        x + 2(30 - 2x) = 24
        x + 60 - 4x = 24
        -3x = 24 - 60
        -3x = -36
        x = 12
        Jika x = 12, maka y = 30 - 2(12) = 30 - 24 = 6. Jadi, Titik C = (12, 6).
    *   Titik D: Perpotongan sumbu x dan sumbu y => (0, 0)

4.  **Menghitung Nilai Minimum Fungsi Objektif f(x,y) = 4x + 3y pada Setiap Titik Sudut:
    *   f(0, 12) = 4(0) + 3(12) = 0 + 36 = 36
    *   f(15, 0) = 4(15) + 3(0) = 60 + 0 = 60
    *   f(12, 6) = 4(12) + 3(6) = 48 + 18 = 66
    *   f(0, 0) = 4(0) + 3(0) = 0 + 0 = 0

Nilai minimum f(x,y) = 4x + 3y yang memenuhi daerah yang diarsir adalah 0, yang terjadi di titik (0,0). Namun, jika yang dimaksud adalah nilai minimum pada titik-titik sudut yang membentuk daerah penyelesaian yang bukan (0,0), maka nilai minimumnya adalah 36.