Tentukan turunan dari fungsi berikut. g(theta)=(theta)^2

g'(theta) = 2θ cotan(θ) - θ^2 csc^2(θ) + 2θ sec^2(θ^2)

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi g(theta) = (theta)^2 cotan(theta) + tan((theta)^2), kita perlu menggunakan aturan turunan dasar dan aturan perkalian serta aturan rantai.

Fungsi ini terdiri dari dua bagian yang dijumlahkan: (theta)^2 cotan(theta) dan tan((theta)^2).
Kita akan mencari turunan dari masing-masing bagian secara terpisah.

Bagian 1: Turunan dari (theta)^2 cotan(theta)
Kita gunakan aturan perkalian, (uv)' = u'v + uv', di mana u = (theta)^2 dan v = cotan(theta).
Turunan dari u: u' = d/d(theta) [(theta)^2] = 2*theta.
Turunan dari v: v' = d/d(theta) [cotan(theta)] = -csc^2(theta).

Menerapkan aturan perkalian:
Turunan bagian 1 = (2*theta) * cotan(theta) + (theta)^2 * (-csc^2(theta))
= 2*theta*cotan(theta) - (theta)^2*csc^2(theta).

Bagian 2: Turunan dari tan((theta)^2)
Kita gunakan aturan rantai, d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x).
Di sini, fungsi luar adalah f(u) = tan(u) dan fungsi dalam adalah g(theta) = (theta)^2.
Turunan dari fungsi luar: f'(u) = d/du [tan(u)] = sec^2(u).
Turunan dari fungsi dalam: g'(theta) = d/d(theta) [(theta)^2] = 2*theta.

Menerapkan aturan rantai:
Turunan bagian 2 = sec^2((theta)^2) * (2*theta)
= 2*theta*sec^2((theta)^2).

Sekarang, kita jumlahkan turunan dari kedua bagian untuk mendapatkan turunan dari g(theta):
g'(theta) = Turunan bagian 1 + Turunan bagian 2
g'(theta) = (2*theta*cotan(theta) - (theta)^2*csc^2(theta)) + (2*theta*sec^2((theta)^2)).

Jadi, turunan dari fungsi g(theta)=(theta)^2 cotan(theta)+tan((theta)^2) adalah 2*theta*cotan(theta) - (theta)^2*csc^2(theta) + 2*theta*sec^2((theta)^2).