Dalam segitiga sama kaki ABC (sudut puncak C), titik sudut

Terbukti menggunakan aturan kosinus atau proyeksi pada alas.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa CD^2 = AC^2 - AD x DB dalam segitiga sama kaki ABC dengan sudut puncak C dan titik D pada alas, kita dapat menggunakan Teorema Apollonius atau pendekatan menggunakan aturan kosinus.

Metode 1: Menggunakan Aturan Kosinus
Misalkan segitiga ABC sama kaki dengan AC = BC. Sudut puncak adalah C. D adalah titik pada alas AB.
Dalam segitiga ADC, dengan aturan kosinus pada sudut A:
CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 * AC * AD * cos(A)

Dalam segitiga BDC, dengan aturan kosinus pada sudut B:
CD^2 = BC^2 + DB^2 - 2 * BC * DB * cos(B)

Karena segitiga ABC sama kaki dengan AC = BC, maka sudut A = sudut B. Juga, karena segitiga ABC sama kaki dengan sudut puncak C, maka cos(A) = cos(B).
Jadi, kita dapat menulis:
AC^2 + AD^2 - 2 * AC * AD * cos(A) = BC^2 + DB^2 - 2 * BC * DB * cos(B)
Karena AC = BC, maka:
AC^2 + AD^2 - 2 * AC * AD * cos(A) = AC^2 + DB^2 - 2 * AC * DB * cos(A)
AD^2 - 2 * AC * AD * cos(A) = DB^2 - 2 * AC * DB * cos(A)
AD^2 - DB^2 = 2 * AC * cos(A) * (AD - DB)

Ini tidak langsung mengarah ke pembuktian yang diinginkan. Mari kita coba pendekatan lain.

Metode 2: Menggunakan Proyeksi pada Alas
Misalkan kita jatuhkan garis tinggi dari C ke alas AB di titik E. Maka CE tegak lurus AB.
Dalam segitiga siku-siku ACE:
AC^2 = AE^2 + CE^2

Dalam segitiga siku-siku BCE:
BC^2 = BE^2 + CE^2
Karena AC = BC, maka AE = BE. Titik E adalah titik tengah alas AB.

Misalkan AD = x dan DB = y. Maka AB = x + y.
AE = EB = (x+y)/2.

Sekarang pertimbangkan titik D pada alas AB.
CD^2 = CE^2 + DE^2 (dalam segitiga CDE, siku-siku di E)

Kita tahu CE^2 = AC^2 - AE^2.
Jadi, CD^2 = (AC^2 - AE^2) + DE^2
CD^2 = AC^2 - (AE^2 - DE^2)

Perhatikan bahwa AE^2 - DE^2 = (AE - DE)(AE + DE).

Kasus 1: D berada di antara A dan E.
AE - DE = AD = x
AE + DE = AB - AD = DB = y
Jadi, AE^2 - DE^2 = x * y = AD * DB

Kasus 2: E berada di antara A dan D.
DE - AE = AD - AE
AE + DE = AB - AD = DB

Mari kita gunakan ruas garis berarah. Misalkan titik A adalah 0 pada garis alas. Maka D adalah d, dan B adalah a+d (jika AB=a+d).
AE = (a+d)/2.
DE = | d - (a+d)/2 | = | (2d - a - d)/2 | = | (d-a)/2 |
DE^2 = (d-a)^2 / 4

AE^2 = (a+d)^2 / 4

AE^2 - DE^2 = [(a+d)^2 - (d-a)^2] / 4
= [ (a^2 + 2ad + d^2) - (d^2 - 2ad + a^2) ] / 4
= [ a^2 + 2ad + d^2 - d^2 + 2ad - a^2 ] / 4
= [ 4ad ] / 4
= ad

Di sini, kita perlu mendefinisikan AD dan DB dengan benar sebagai panjang. Jika D berada di antara A dan B, maka AB = AD + DB.
Jika kita tetapkan titik asal di A, maka posisi D adalah AD. Posisi B adalah AB.
AE = AB/2.
DE = | AD - AB/2 |

CD^2 = AC^2 - AE^2 + DE^2
CD^2 = AC^2 - (AE^2 - DE^2)
CD^2 = AC^2 - ( (AB/2)^2 - (AD - AB/2)^2 )
CD^2 = AC^2 - ( AB^2/4 - (AD^2 - AD*AB + AB^2/4) )
CD^2 = AC^2 - ( AB^2/4 - AD^2 + AD*AB - AB^2/4 )
CD^2 = AC^2 - ( -AD^2 + AD*AB )
CD^2 = AC^2 + AD^2 - AD*AB

Kita tahu AB = AD + DB.
CD^2 = AC^2 + AD^2 - AD*(AD + DB)
CD^2 = AC^2 + AD^2 - AD^2 - AD*DB
CD^2 = AC^2 - AD*DB

Ini membuktikan pernyataan tersebut.

Jadi, dalam segitiga sama kaki ABC (sudut puncak C), titik sudut C dihubungkan dengan sembarang titik D pada alas. Dibuktikan bahwa CD^2 = AC^2 - AD x DB.