Dari persamaan irisan kerucut x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 dan

Hubungan yang diberikan (a² - b² = c² + a²) mengarah pada kontradiksi (-b² = c²), sehingga tidak mungkin kedua kurva memiliki fokus yang berimpit.

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan irisan kerucut:
1. Elips: x²/a² + y²/b² = 1
2. Hiperbola: x²/c² - y²/d² = 1

Diketahui hubungan antara parameter-parametarnya adalah: a² - b² = c² + a².
Kita perlu menunjukkan bahwa kedua kurva ini memiliki fokus-fokus yang berimpit berpasangan.

Fokus elips:
Pada elips, jarak dari pusat ke fokus adalah 'e', di mana e² = a² - b² (dengan asumsi a > b).
Jadi, fokus elips berada pada posisi (±e, 0) atau (0, ±e), tergantung pada orientasi sumbu.
Untuk persamaan x²/a² + y²/b² = 1, jika a > b, fokusnya adalah (±√(a² - b²), 0).

Fokus hiperbola:
Pada hiperbola, jarak dari pusat ke fokus adalah 'f', di mana f² = c² + d².
Jadi, fokus hiperbola berada pada posisi (±f, 0) atau (0, ±f), tergantung pada orientasi hiperbola.
Untuk persamaan x²/c² - y²/d² = 1, fokusnya adalah (±√(c² + d²), 0).

Sekarang, mari kita gunakan hubungan yang diberikan: a² - b² = c² + a².

Perhatikan bahwa dari hubungan ini, kita dapatkan:
-b² = c²
Ini adalah kontradiksi karena kuadrat bilangan real (b² dan c²) tidak mungkin negatif dan sama dengan bilangan real positif lain yang sama.

Mari kita tinjau kembali hubungan yang diberikan. Kemungkinan ada kesalahan penulisan dalam soal. Jika kita asumsikan hubungannya adalah:

Kasus 1: Hubungan yang diberikan adalah **a² = b² + c²** (Ini adalah hubungan umum yang menghubungkan sumbu elips dan hiperbola ketika mereka memiliki fokus yang sama).

Jika a² = b² + c², maka:
- Fokus elips: (±√(a² - b²), 0) = (±√c², 0) = (±c, 0).
- Fokus hiperbola: (±√(c² + d²), 0).
Agar fokusnya sama, kita perlu √c² = √(c² + d²), yang berarti c² = c² + d², sehingga d² = 0, yang tidak mungkin untuk hiperbola.

Kasus 2: Hubungan yang diberikan adalah **c² = a² - b²** (Ini berarti fokus hiperbola sama dengan fokus elips jika elips memiliki sumbu mayor 'a' dan sumbu minor 'b').

Jika c² = a² - b², maka:
- Fokus elips: (±√(a² - b²), 0) = (±√c², 0) = (±c, 0).
- Fokus hiperbola: (±√(c² + d²), 0).
Agar fokusnya sama, kita perlu √c² = √(c² + d²), yang berarti c² = c² + d², sehingga d² = 0, yang tidak mungkin.

Kasus 3: Hubungan yang diberikan adalah **a² = c² + d²** (Ini berarti fokus hiperbola sama dengan titik ujung sumbu mayor elips jika sumbu mayor elips adalah 'a').

Jika a² = c² + d², maka:
- Fokus elips: (±√(a² - b²), 0).
- Fokus hiperbola: (±√(c² + d²), 0) = (±√a², 0) = (±a, 0).
Agar fokusnya sama, kita perlu √(a² - b²) = a, sehingga a² - b² = a², yang berarti -b² = 0, atau b = 0, yang tidak mungkin untuk elips.

Mari kita kembali ke hubungan awal yang diberikan: a² - b² = c² + a².
Ini menyiratkan -b² = c². Karena b² dan c² adalah kuadrat dari bilangan riil (panjang sumbu), keduanya harus positif atau nol. Persamaan -b² = c² hanya mungkin jika b = 0 dan c = 0, yang tidak valid untuk definisi elips dan hiperbola.

Namun, jika kita menafsirkan soal ini sebagai hubungan antara parameter-parameter yang *membuat* fokus berimpit, maka kita perlu mencari hubungan yang menyamakan jarak fokus kedua kurva.

Jarak fokus elips: f_e = √(a² - b²) (jika a>b, sumbu mayor di x)
Jarak fokus hiperbola: f_h = √(c² + d²) (untuk x²/c² - y²/d² = 1)

Agar fokus berimpit, kita perlu f_e = f_h, sehingga:
√(a² - b²) = √(c² + d²)
a² - b² = c² + d²

Hubungan yang diberikan dalam soal adalah a² - b² = c² + a².
Ini berarti kita menyamakan jarak fokus elips dengan sesuatu yang lain.
Jika kita menginginkan fokus elips (±√(a²-b²), 0) sama dengan fokus hiperbola (±√(c²+d²), 0), maka haruslah:
√(a² - b²) = √(c² + d²)
a² - b² = c² + d²

Perhatikan bahwa soal memberikan a² - b² = c² + a².
Jika kita substitusikan:
c² + d² = c² + a²
Ini menyiratkan d² = a².

Jadi, jika hubungan antara parameter adalah a² - b² = c² + d², maka fokusnya berimpit.
Tetapi dengan hubungan a² - b² = c² + a², ini menghasilkan d² = a². Ini berarti bahwa jarak dari pusat ke verteks pada hiperbola (c) dan jarak dari pusat ke verteks pada elips (a) adalah sama, DAN jarak dari pusat ke fokus pada hiperbola (√(c²+d²)) sama dengan jarak dari pusat ke fokus pada elips (√(a²-b²)).

Mari kita analisis ulang berdasarkan hubungan yang diberikan: a² - b² = c² + a²
Ini adalah hubungan yang tidak umum dan mengarah pada kontradiksi jika a, b, c adalah bilangan riil positif yang merepresentasikan sumbu elips dan hiperbola.

Kemungkinan besar ada kesalahan ketik dalam soal. Jika diasumsikan bahwa hubungannya adalah **a² - b² = c²**, maka:
Fokus elips: (±√(a² - b²), 0) = (±√c², 0) = (±c, 0).
Untuk hiperbola x²/c² - y²/d² = 1, fokusnya adalah (±√(c² + d²), 0).
Agar fokus berimpit, kita perlu ±c = ±√(c² + d²), yang berarti c² = c² + d², sehingga d² = 0, yang tidak mungkin.

Jika diasumsikan bahwa hubungannya adalah **c² + d² = a²**, maka:
Fokus hiperbola: (±√(c² + d²), 0) = (±√a², 0) = (±a, 0).
Fokus elips: (±√(a² - b²), 0).
Agar fokus berimpit, kita perlu ±a = ±√(a² - b²), sehingga a² = a² - b², yang berarti b² = 0, atau b = 0, yang tidak mungkin.

Jika diasumsikan bahwa hubungannya adalah **a² - b² = c² + d²**, maka:
Jarak fokus elips = √(a² - b²)
Jarak fokus hiperbola = √(c² + d²)
Dengan hubungan ini, kedua jarak fokusnya sama, sehingga fokusnya berimpit.

Mengacu pada soal persis seperti yang tertulis: a² - b² = c² + a².
Ini menyiratkan -b² = c².
Ini hanya mungkin jika b=0 dan c=0, yang tidak valid.

Jadi, dengan hubungan yang diberikan secara eksplisit (a² - b² = c² + a²), kedua kurva TIDAK dapat memiliki fokus yang berimpit karena menghasilkan kontradiksi matematis untuk parameter elips dan hiperbola yang riil dan positif.

Namun, jika kita mengabaikan kontradiksi ini dan mencoba mencocokkan bentuk jarak fokusnya:
Jarak fokus elips = ±√(a² - b²)
Jarak fokus hiperbola = ±√(c² + d²)

Jika kita ingin kedua jarak fokus ini sama, maka:
√(a² - b²) = √(c² + d²)
a² - b² = c² + d²

Soal memberikan: a² - b² = c² + a².

Mencocokkan kedua persamaan ini:
c² + d² = c² + a²
Ini menyiratkan d² = a².

Jadi, jika d² = a², maka hubungan a² - b² = c² + a² akan menghasilkan:
a² - b² = c² + a²
-b² = c² (kembali ke kontradiksi).

Kesimpulan: Berdasarkan hubungan yang diberikan (a² - b² = c² + a²), tidak mungkin menunjukkan bahwa kurva-kurva tersebut memiliki fokus yang berimpit karena hubungan tersebut menghasilkan kontradiksi matematis untuk parameter elips dan hiperbola yang valid.