Dengan menggunakan aturan rantai, tentukan turunan pertama

Turunan pertama dari y=(1+sin^2(x))(1-sin^2(x)) adalah -sin(2x) + 1/2 * sin(4x).

Pembahasan

Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi y=(1+sin^2(x))(1-sin^2(x)) menggunakan aturan rantai, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut terlebih dahulu.

Fungsi dapat disederhanakan menggunakan identitas trigonometri:
1 - sin^2(x) = cos^2(x)

Maka, y = (1 + sin^2(x))(cos^2(x))
y = cos^2(x) + sin^2(x)cos^2(x)

Sekarang kita akan mencari turunan dy/dx menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai.
Misalkan u = cos^2(x) dan v = 1 + sin^2(x).
Maka, dy/dx = (du/dx)v + u(dv/dx)

Turunan dari u = cos^2(x):
du/dx = 2cos(x) * (-sin(x)) = -2sin(x)cos(x) = -sin(2x)

Turunan dari v = 1 + sin^2(x):
dv/dx = 0 + 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Substitusikan kembali ke rumus dy/dx:
dy/dx = (-sin(2x))(1 + sin^2(x)) + (cos^2(x))(sin(2x))
dy/dx = -sin(2x) - sin(2x)sin^2(x) + cos^2(x)sin(2x)

Kita juga bisa menyederhanakan bentuk awal y = cos^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) menggunakan identitas sin(2x) = 2sin(x)cos(x) dan cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

y = cos^2(x) + (1/4)(2sin(x)cos(x))^2
y = cos^2(x) + (1/4)sin^2(2x)

Menggunakan identitas cos^2(x) = (1+cos(2x))/2 dan sin^2(2x) = (1-cos(4x))/2

y = (1+cos(2x))/2 + (1/4)(1-cos(4x))/2
y = (1+cos(2x))/2 + (1-cos(4x))/8

Sekarang turunkan terhadap x:
dy/dx = (1/2)(-sin(2x)*2) + (1/8)( -sin(4x)*4)
dy/dx = -sin(2x) - (1/2)sin(4x)

Mari kita kembali ke bentuk y = cos^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) dan turunkan langsung:
y = cos^2(x) + (sin(x)cos(x))^2
y = cos^2(x) + (1/2 * sin(2x))^2
y = cos^2(x) + 1/4 * sin^2(2x)

dy/dx = 2cos(x)(-sin(x)) + 1/4 * 2sin(2x)cos(2x)
dy/dx = -2sin(x)cos(x) + 1/2 * sin(4x)
dy/dx = -sin(2x) + 1/2 * sin(4x)