Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11mathKalkulus

Nilai lim->0 ((x^2-1)sin 6x))/(x^3-3x^2+2x)= ....

Pertanyaan

Berapakah nilai dari lim->0 ((x^2-1)sin 6x))/(x^3-3x^2+2x)?

Solusi

Verified

-3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu mengevaluasi ekspresi: lim->0 ((x^2-1)sin 6x)/(x^3-3x^2+2x). Langkah pertama adalah mencoba mensubstitusikan x = 0 ke dalam ekspresi: Pembilang: (0^2 - 1) * sin(6*0) = (-1) * sin(0) = (-1) * 0 = 0 Penyebut: 0^3 - 3*(0^2) + 2*0 = 0 - 0 + 0 = 0 Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan Aturan L'Hôpital atau menyederhanakan ekspresi. **Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hôpital** Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x). Turunan dari pembilang (f(x) = (x^2-1)sin 6x): Menggunakan aturan perkalian: f'(x) = (2x)sin(6x) + (x^2-1)(cos(6x) * 6) f'(x) = 2x sin(6x) + 6(x^2-1)cos(6x) Turunan dari penyebut (g(x) = x^3-3x^2+2x): g'(x) = 3x^2 - 6x + 2 Sekarang, kita ambil limit dari f'(x)/g'(x) saat x mendekati 0: lim->0 [ (2x sin(6x) + 6(x^2-1)cos(6x)) / (3x^2 - 6x + 2) ] Substitusikan x = 0: Pembilang: 2(0)sin(0) + 6(0^2-1)cos(0) = 0 + 6(-1)(1) = -6 Penyebut: 3(0^2) - 6(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2 Maka, limitnya adalah -6 / 2 = -3. **Metode 2: Menyederhanakan Ekspresi** Kita bisa memfaktorkan penyebut: x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2 - 3x + 2) = x(x - 1)(x - 2) Ekspresi menjadi: lim->0 [ (x^2-1)sin 6x / (x(x - 1)(x - 2)) ] Kita bisa memisahkan bagian-bagiannya: = lim->0 [ (x^2-1) / ((x-1)(x-2)) ] * lim->0 [ sin 6x / x ] Evaluasi limit pertama: lim->0 [ (x^2-1) / ((x-1)(x-2)) ] = lim->0 [ (x-1)(x+1) / ((x-1)(x-2)) ] Batalkan (x-1): = lim->0 [ (x+1) / (x-2) ] Substitusikan x = 0: = (0+1) / (0-2) = 1 / -2 = -1/2 Evaluasi limit kedua: lim->0 [ sin 6x / x ] Kita tahu bahwa lim->0 sin(ax)/x = a. Jadi, di sini a = 6. = 6 Sekarang, kalikan kedua hasil limit: (-1/2) * 6 = -3. Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Aljabar

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...