Nilai lim->0 ((x^2-1)sin 6x))/(x^3-3x^2+2x)= ....

-3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu mengevaluasi ekspresi: lim->0 ((x^2-1)sin 6x)/(x^3-3x^2+2x).

Langkah pertama adalah mencoba mensubstitusikan x = 0 ke dalam ekspresi:
Pembilang: (0^2 - 1) * sin(6*0) = (-1) * sin(0) = (-1) * 0 = 0
Penyebut: 0^3 - 3*(0^2) + 2*0 = 0 - 0 + 0 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan Aturan L'Hôpital atau menyederhanakan ekspresi.

**Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hôpital**
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (f(x) = (x^2-1)sin 6x):
Menggunakan aturan perkalian: f'(x) = (2x)sin(6x) + (x^2-1)(cos(6x) * 6)
f'(x) = 2x sin(6x) + 6(x^2-1)cos(6x)

Turunan dari penyebut (g(x) = x^3-3x^2+2x):
g'(x) = 3x^2 - 6x + 2

Sekarang, kita ambil limit dari f'(x)/g'(x) saat x mendekati 0:
lim->0 [ (2x sin(6x) + 6(x^2-1)cos(6x)) / (3x^2 - 6x + 2) ]

Substitusikan x = 0:
Pembilang: 2(0)sin(0) + 6(0^2-1)cos(0) = 0 + 6(-1)(1) = -6
Penyebut: 3(0^2) - 6(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2

Maka, limitnya adalah -6 / 2 = -3.

**Metode 2: Menyederhanakan Ekspresi**
Kita bisa memfaktorkan penyebut:
x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2 - 3x + 2) = x(x - 1)(x - 2)

Ekspresi menjadi: lim->0 [ (x^2-1)sin 6x / (x(x - 1)(x - 2)) ]

Kita bisa memisahkan bagian-bagiannya:
= lim->0 [ (x^2-1) / ((x-1)(x-2)) ] * lim->0 [ sin 6x / x ]

Evaluasi limit pertama:
lim->0 [ (x^2-1) / ((x-1)(x-2)) ]
= lim->0 [ (x-1)(x+1) / ((x-1)(x-2)) ]
Batalkan (x-1):
= lim->0 [ (x+1) / (x-2) ]
Substitusikan x = 0:
= (0+1) / (0-2) = 1 / -2 = -1/2

Evaluasi limit kedua:
lim->0 [ sin 6x / x ]
Kita tahu bahwa lim->0 sin(ax)/x = a. Jadi, di sini a = 6.
= 6

Sekarang, kalikan kedua hasil limit:
(-1/2) * 6 = -3.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.