Tentukan persamaan garis singgung pada elips berikut.

Persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ yang sejajar dengan garis $3x+y+1=0$ adalah $3x+y \pm 13 = 0$.

Pembahasan

Persamaan elips yang diberikan adalah $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$.
Ini adalah elips dengan pusat di (0,0), sumbu mayor vertikal karena $25 > 16$. Nilai $a^2 = 25$ dan $b^2 = 16$, sehingga $a=5$ dan $b=4$.

Gradien garis singgung pada elips $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ (untuk sumbu mayor vertikal) adalah $m = -\frac{a^2 x_0}{b^2 y_0}$, di mana $(x_0, y_0)$ adalah titik singgung.

Garis yang sejajar dengan $3x+y+1=0$ memiliki gradien $m = -3$.

Persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ yang sejajar dengan garis $y=mx+c$ adalah $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$.

Dalam kasus ini, persamaan elipsnya adalah $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$, jadi $a^2=16$ dan $b^2=25$. (Perhatikan bahwa dalam konteks ini, $a^2$ adalah penyebut di bawah $x^2$ dan $b^2$ adalah penyebut di bawah $y^2$, meskipun sumbu mayornya vertikal).

Namun, jika kita mengikuti konvensi umum bahwa $a$ adalah sumbu mayor dan $b$ adalah sumbu minor, dan elipsnya $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$, maka $a^2=25$ dan $b^2=16$.

Kita ingin garis singgung sejajar dengan $3x+y+1=0$, yang berarti gradiennya $m = -3$.

Rumus umum persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ dengan gradien $m$ adalah $y = mx \pm \sqrt{A^2m^2 + B^2}$.

Di sini, $A^2 = 16$ dan $B^2 = 25$. Gradien $m = -3$.

Maka, persamaan garis singgungnya adalah:
$y = -3x \pm \sqrt{16(-3)^2 + 25}$
$y = -3x \pm \sqrt{16(9) + 25}$
$y = -3x \pm \sqrt{144 + 25}$
$y = -3x \pm \sqrt{169}$
$y = -3x \pm 13$

Jadi, dua persamaan garis singgungnya adalah $y = -3x + 13$ dan $y = -3x - 13$.
Atau dapat ditulis sebagai $3x + y - 13 = 0$ dan $3x + y + 13 = 0$.