Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa:

Identitas terbukti dengan menjabarkan sisi kiri menggunakan sifat sigma dan rumus jumlah deret.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas sigma k=1 n (2k-4)^2 = 4 sigma k=1 n (k^2) - 16 sigma k=1 n k + 16n, kita akan menggunakan sifat-sifat notasi sigma dan menjabarkan kedua sisi persamaan.

Sifat-sifat notasi sigma yang akan digunakan:
1. sigma C*a_k = C * sigma a_k (di mana C adalah konstanta)
2. sigma (a_k + b_k) = sigma a_k + sigma b_k
3. sigma C = n*C (di mana C adalah konstanta)
4. sigma_{k=1}^n k = n(n+1)/2
5. sigma_{k=1}^n k^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Mari kita jabarkan sisi kiri:
sigma k=1 n (2k-4)^2
= sigma k=1 n (4k^2 - 16k + 16)

Gunakan sifat sigma untuk memisahkan suku-suku:
= sigma k=1 n (4k^2) - sigma k=1 n (16k) + sigma k=1 n (16)

Keluarkan konstanta:
= 4 * sigma k=1 n (k^2) - 16 * sigma k=1 n (k) + sigma k=1 n (16)

Sekarang kita gunakan rumus jumlah deret:
= 4 * [n(n+1)(2n+1)/6] - 16 * [n(n+1)/2] + 16n

Sekarang mari kita lihat sisi kanan yang diberikan dalam soal (terdapat sedikit perbedaan dalam soal asli, asumsi yang dimaksud adalah 16n bukan 16):
4 sigma k=1 n (k^2) - 16 sigma k=1 n k + 16n

Ini sudah dalam bentuk yang disederhanakan sesuai sifat sigma. Jika kita substitusikan rumus jumlah deret ke sisi kanan, kita akan mendapatkan:
= 4 * [n(n+1)(2n+1)/6] - 16 * [n(n+1)/2] + 16n

Karena hasil penjabaran sisi kiri sama persis dengan bentuk sisi kanan setelah menggunakan sifat sigma dan rumus jumlah deret, maka identitas tersebut terbukti benar.