Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa sigma

Identitas terbukti dengan menjabarkan $(2k-4)^2$ menjadi $4k^2 - 16k + 16$ dan menerapkan sifat-sifat notasi sigma.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas notasi sigma $\sum_{k=1}^{n} (2k-4)^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 -16 \sum_{k=1}^{n} k + 16n$, kita akan mulai dengan menjabarkan suku di dalam notasi sigma di sisi kiri:

$(2k-4)^2 = (2k)^2 - 2(2k)(4) + 4^2 = 4k^2 - 16k + 16$

Sekarang, kita terapkan notasi sigma pada hasil penjabaran ini:

$\sum_{k=1}^{n} (2k-4)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 16k + 16)$

Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma (distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan, serta konstanta dapat dikeluarkan dari sigma), kita dapat memecahnya menjadi:

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 16k + 16) = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 - \sum_{k=1}^{n} 16k + \sum_{k=1}^{n} 16$

Selanjutnya, kita keluarkan konstanta dari masing-masing notasi sigma:

$4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 16 \sum_{k=1}^{n} k + 16 \sum_{k=1}^{n} 1$

Terakhir, kita tahu bahwa $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$. Mengganti ini ke dalam persamaan:

$4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 16 \sum_{k=1}^{n} k + 16n$

Ini sama dengan sisi kanan dari identitas yang diberikan, sehingga terbukti bahwa $\sum_{k=1}^{n} (2k-4)^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 -16 \sum_{k=1}^{n} k + 16n$.