Di atas 1 hektar tanah akan dibangun rumah tipe C dan tipe

Harga jual maksimum adalah 30.000 juta rupiah dengan membangun 100 unit rumah tipe C dan 0 unit rumah tipe D.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear.
Misalkan x adalah jumlah rumah tipe C dan y adalah jumlah rumah tipe D.
Fungsi tujuan yang ingin dimaksimalkan adalah keuntungan (harga jual):
$Z = 300.000.000x + 200.000.000y$
Kendala:
1. Luas tanah total tidak lebih dari 1 hektar = 10.000 m$^2$.
Luas tipe C = 100 m$^2$/unit, Luas tipe D = 75 m$^2$/unit.
$100x + 75y \le 10000$
Disederhanakan: $4x + 3y \le 400$
2. Jumlah rumah tidak lebih dari 125 unit.
$x + y \le 125$
3. Jumlah rumah tidak negatif.
$x \ge 0$
$y \ge 0$
Kita perlu mencari nilai maksimum Z dengan memenuhi kendala tersebut.
Titik-titik pojok daerah yang memenuhi kendala:
a. Perpotongan $4x + 3y = 400$ dan $x + y = 125$.
Kalikan persamaan kedua dengan 4: $4x + 4y = 500$.
Kurangkan persamaan pertama: $(4x + 4y) - (4x + 3y) = 500 - 400 => y = 100$.
Ganti y=100 ke $x + y = 125 => x + 100 = 125 => x = 25$.
Titik pojok: (25, 100).
Nilai Z di (25, 100): $Z = 300jt(25) + 200jt(100) = 7500jt + 20000jt = 27.500$ juta rupiah.
b. Perpotongan $4x + 3y = 400$ dengan sumbu x ($y=0$).
$4x = 400 => x = 100$. Titik pojok: (100, 0).
Nilai Z di (100, 0): $Z = 300jt(100) + 200jt(0) = 30000$ juta rupiah.
c. Perpotongan $x + y = 125$ dengan sumbu y ($x=0$).
$y = 125$. Titik pojok: (0, 125).
Nilai Z di (0, 125): $Z = 300jt(0) + 200jt(125) = 25000$ juta rupiah.
d. Titik pojok (0,0). Z=0.
e. Perpotongan $4x + 3y = 400$ dengan sumbu y ($x=0$).
$3y = 400 => y = 400/3 \approx 133.33$. Titik ini tidak memenuhi $x+y \le 125$ karena $0 + 133.33 > 125$.
f. Perpotongan $x + y = 125$ dengan sumbu x ($y=0$).
$x = 125$. Titik ini tidak memenuhi $4x+3y \le 400$ karena $4(125) + 3(0) = 500 > 400$.
Jadi, titik-titik pojok yang relevan adalah (0,0), (100,0), (25,100), dan (0,125).
Evaluasi Z di titik-titik pojok:
(0,0): Z = 0
(100,0): Z = 300jt * 100 = 30.000 juta rupiah.
(25,100): Z = 300jt * 25 + 200jt * 100 = 7500jt + 20000jt = 27.500 juta rupiah.
(0,125): Z = 300jt * 0 + 200jt * 125 = 25.000 juta rupiah.
Harga jual maksimum dari seluruh rumah yang mungkin diperoleh adalah 30.000 juta rupiah, yaitu dengan membangun 100 unit rumah tipe C dan 0 unit rumah tipe D.