Diberikan

Nilai konstanta A, B, dan C adalah A=4, B=-1, dan C=2.

Pembahasan

Diberikan kesamaan:
(3x^2-8x+13)/((x+3)(x-1)^2)=A/(x+3)+B/(x-1)+C/((x-1)^2)

Untuk mencari nilai A, B, dan C, kita akan menggunakan metode dekomposisi pecahan parsial.

Kalikan kedua sisi persamaan dengan penyebut ((x+3)(x-1)^2):
3x^2 - 8x + 13 = A(x-1)^2 + B(x+3)(x-1) + C(x+3)

Sekarang, kita substitusikan nilai-nilai x yang membuat penyebut menjadi nol untuk mencari A, B, dan C.

**Mencari A (saat x = -3):**
Substitusikan x = -3 ke dalam persamaan:
3(-3)^2 - 8(-3) + 13 = A(-3-1)^2 + B(-3+3)(-3-1) + C(-3+3)
3(9) + 24 + 13 = A(-4)^2 + B(0)(-4) + C(0)
27 + 24 + 13 = A(16)
64 = 16A
A = 64 / 16
A = 4

**Mencari C (saat x = 1):**
Substitusikan x = 1 ke dalam persamaan:
3(1)^2 - 8(1) + 13 = A(1-1)^2 + B(1+3)(1-1) + C(1+3)
3 - 8 + 13 = A(0)^2 + B(4)(0) + C(4)
8 = 0 + 0 + 4C
8 = 4C
C = 8 / 4
C = 2

**Mencari B (dengan membandingkan koefisien atau substitusi nilai x lain):**
Mari kita bandingkan koefisien x^2 di kedua sisi persamaan.
Sisi kiri: 3x^2
Sisi kanan: A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 + 2x - 3) + C(x+3)
Koefisien x^2 dari sisi kanan adalah A + B.

Jadi, 3 = A + B.
Karena kita sudah menemukan A = 4, maka:
3 = 4 + B
B = 3 - 4
B = -1

Alternatif lain untuk mencari B adalah dengan substitusi nilai x lain, misalnya x = 0:
3(0)^2 - 8(0) + 13 = A(0-1)^2 + B(0+3)(0-1) + C(0+3)
13 = A(-1)^2 + B(3)(-1) + C(3)
13 = A - 3B + 3C
Substitusikan nilai A = 4 dan C = 2:
13 = 4 - 3B + 3(2)
13 = 4 - 3B + 6
13 = 10 - 3B
3B = 10 - 13
3B = -3
B = -1

Jadi, nilai-nilai A, B, dan C adalah A = 4, B = -1, dan C = 2.