Diberikan balok OABC.DEFG seperti gambar berikut dengan OA

a. P = (3/4, b/4, 1), b. Q = (3, 5b/3, 20/3). Dengan asumsi lebar OC=3, P=(3/4, 3/4, 1), Q=(3, 5, 20/3).

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik P dan Q pada balok OABC.DEFG:

**a. Koordinat titik P:**
Titik P terletak pada ruas garis OF dengan perbandingan OP : PF = 1 : 3. Ini berarti OF terbagi menjadi 1 + 3 = 4 bagian.
Koordinat titik O adalah (0, 0, 0).
Koordinat titik F adalah koordinat yang sesuai dengan panjang OA (sumbu x), lebar OC (sumbu y), dan tinggi OD (sumbu z).
Dari gambar (asumsi penamaan balok standar), OA searah sumbu x, OC searah sumbu y, dan OD searah sumbu z.
OA = 3 satuan -> F memiliki koordinat x = 3
OC = (tidak disebutkan, asumsikan sama dengan AB atau DE) mari kita asumsikan OC = y
OD = 4 satuan -> F memiliki koordinat z = 4

Namun, dari gambar balok OABC.DEFG, biasanya sisi-sisi yang berdekatan dengan O adalah OA, OC, dan OD. Sehingga:
O = (0, 0, 0)
A = (3, 0, 0)
C = (0, y, 0) -> jika OC = y
B = (3, y, 0)
D = (0, 0, 4)
E = (3, 0, 4)
F = (3, y, 4)
G = (0, y, 4)

Titik F memiliki koordinat (3, y, 4).
Jika P membagi OF dengan perbandingan OP:PF = 1:3, maka P adalah titik pada OF yang berjarak 1/4 dari O ke F.
P = O + (1/4)(F - O)
P = (0,0,0) + (1/4)(3, y, 4)
P = (3/4, y/4, 4/4)
P = (3/4, y/4, 1)

Jika diasumsikan OC=0 (balok datar di y=0, yang tidak mungkin untuk balok 3D) atau jika gambar menyiratkan OC=3 (persegi di alas), maka y=3.
Jika y=3, maka F=(3,3,4).
P = (3/4, 3/4, 1).

Jika kita hanya menggunakan informasi OA=3 dan OD=4, dan mengabaikan lebar OC karena tidak diberikan atau tidak relevan untuk mencari koordinat P pada OF:
O = (0,0,0)
OA = 3 (sepanjang sumbu x, misal)
OD = 4 (sepanjang sumbu z, misal)
OC = y (sepanjang sumbu y, misal)
Maka F memiliki koordinat (3, y, 4).

Mari kita asumsikan penamaan balok standar: O di (0,0,0), OA sepanjang sumbu x, OC sepanjang sumbu y, OD sepanjang sumbu z.
OA = 3 => A = (3,0,0)
OD = 4 => D = (0,0,4)
OC = b (lebar, tidak diketahui)

Koordinat titik F adalah (OA, OC, OD) = (3, b, 4).
Karena P terletak pada ruas garis OF sedemikian hingga OP : PF = 1 : 3, maka P membagi OF dalam perbandingan 1:3.
Rumus perbandingan vektor: P = ((m*F) + (n*O)) / (m+n), dengan m=1, n=3.
P = ((1 * F) + (3 * O)) / (1 + 3)
P = ((1 * (3, b, 4)) + (3 * (0, 0, 0))) / 4
P = (3, b, 4) / 4
P = (3/4, b/4, 1)

Jika kita melihat gambar balok, biasanya F memiliki koordinat (panjang, lebar, tinggi). Dengan OA sebagai panjang (3), OD sebagai tinggi (4). Lebar biasanya OC. Jika diasumsikan lebar OC = 3 (kotak alasnya persegi), maka F = (3, 3, 4).
P = (3/4, 3/4, 1).

**b. Koordinat titik Q:**
Titik Q terletak pada perpanjangan ruas garis AF sedemikian hingga AF : QF = 3 : 2.
Ini berarti Q membagi AF dari luar dengan perbandingan 3:(-2) atau A membagi FQ dengan perbandingan 5:2. Cara lain adalah F membagi AQ dengan perbandingan 2:5.

A = (3, 0, 0)
F = (3, b, 4)

Jika AF : QF = 3 : 2, maka Q berada di luar segmen AF, lebih jauh dari F.
Ini bisa ditulis sebagai vektor $\vec{AQ} = \vec{AF} + \vec{FQ}$.
Karena AF : QF = 3 : 2, maka $|\vec{AF}| / |\vec{QF}| = 3/2$. Karena QF searah dengan perpanjangan AF, maka $\vec{AF} / \vec{QF} = 3/2$. Ini berarti $\vec{QF} = (2/3)\vec{AF}$.

Atau menggunakan perbandingan bagian:
Jika AF : QF = 3 : 2, maka segmen AQ terbagi oleh F dengan perbandingan AF : FQ = 3 : 2. Total bagian adalah 3 + 2 = 5.
F membagi AQ dengan perbandingan 2:3 (jarak F ke A : jarak F ke Q).
Atau A membagi FQ dengan perbandingan 3:2.

Mari kita gunakan rumus perbandingan untuk titik Q yang membagi ruas garis AF.
Jika Q membagi AF secara eksternal dalam rasio m:n, maka Q = (m*F - n*A) / (m-n).
Dalam kasus ini, Q membagi AF sedemikian hingga AF : QF = 3 : 2. Ini berarti F adalah titik yang membagi AQ. Jarak AF adalah 3 bagian, jarak FQ adalah 2 bagian. Maka F membagi AQ dengan rasio 3:2.
Rumus titik yang membagi ruas garis dari dalam: $P = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m+n}$.
Jadi, F membagi AQ dengan rasio $AF:FQ = 3:2$. Q adalah titik yang lebih jauh.
$F = \frac{2A + 3Q}{2+3}$
$5F = 2A + 3Q$
$3Q = 5F - 2A$
$Q = \frac{5F - 2A}{3}$

Substitusikan koordinat A=(3,0,0) dan F=(3, b, 4):
$Q = \frac{5(3, b, 4) - 2(3, 0, 0)}{3}$
$Q = \frac{(15, 5b, 20) - (6, 0, 0)}{3}$
$Q = \frac{(15-6, 5b-0, 20-0)}{3}$
$Q = \frac{(9, 5b, 20)}{3}$
$Q = (3, 5b/3, 20/3)$

Jika diasumsikan lebar OC = 3 (y=3), maka F = (3, 3, 4).
$Q = \frac{5(3, 3, 4) - 2(3, 0, 0)}{3}$
$Q = \frac{(15, 15, 20) - (6, 0, 0)}{3}$
$Q = \frac{(9, 15, 20)}{3}$
$Q = (3, 5, 20/3)$

Jadi, dengan asumsi lebar OC = 3 satuan:
a. Koordinat titik P adalah (3/4, 3/4, 1).
b. Koordinat titik Q adalah (3, 5, 20/3).