Diberikan f(x)=(1)/(2)(a^(x)+a^(-x)) dan

Terbukti bahwa {f(x)}^(2)-{g(x)}^(2)=1 dengan substitusi dan penyederhanaan aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas {f(x)}^(2)-{g(x)}^(2)=1, kita akan substitusikan definisi f(x) dan g(x) ke dalam persamaan.

Diketahui:
f(x) = 1/2 (a^x + a^{-x})
g(x) = 1/2 (a^x - a^{-x})

Kita hitung {f(x)}^2:
{f(x)}^2 = (1/2 (a^x + a^{-x}))^2
{f(x)}^2 = 1/4 (a^x + a^{-x})^2
{f(x)}^2 = 1/4 ((a^x)^2 + 2(a^x)(a^{-x}) + (a^{-x})^2)
{f(x)}^2 = 1/4 (a^{2x} + 2a^0 + a^{-2x})
{f(x)}^2 = 1/4 (a^{2x} + 2 + a^{-2x})

Selanjutnya, kita hitung {g(x)}^2:
{g(x)}^2 = (1/2 (a^x - a^{-x}))^2
{g(x)}^2 = 1/4 (a^x - a^{-x})^2
{g(x)}^2 = 1/4 ((a^x)^2 - 2(a^x)(a^{-x}) + (a^{-x})^2)
{g(x)}^2 = 1/4 (a^{2x} - 2a^0 + a^{-2x})
{g(x)}^2 = 1/4 (a^{2x} - 2 + a^{-2x})

Sekarang, kita hitung {f(x)}^2 - {g(x)}^2:
{f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 1/4 (a^{2x} + 2 + a^{-2x}) - 1/4 (a^{2x} - 2 + a^{-2x})
{f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 1/4 [(a^{2x} + 2 + a^{-2x}) - (a^{2x} - 2 + a^{-2x})]
{f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 1/4 [a^{2x} + 2 + a^{-2x} - a^{2x} + 2 - a^{-2x}]
{f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 1/4 [2 + 2]
{f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 1/4 [4]
{f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 1

Terbukti bahwa {f(x)}^(2)-{g(x)}^(2)=1.