Diberikan fungsi f(x^2 - x - 6) + 2f(x^2 + 5x) = 2x^2 + 9x

Nilai f(x^2 - x - 6) adalah -15/2.

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan:
1. f(x^2 - x - 6) + 2f(x^2 + 5x) = 2x^2 + 9x
2. f(x^2 + x - 6) = x^2 + 2x

Tujuan kita adalah menentukan f(x^2 - x - 6).

Dari persamaan (2), kita bisa mencoba mencari bentuk dari f(y) jika kita bisa membuat argumennya sama. Namun, argumennya berbeda.

Mari kita perhatikan persamaan (1) dan coba substitusikan nilai x yang membuat salah satu argumen f menjadi nol atau mudah dikelola.

Jika kita ingin mencari f(x^2 - x - 6), kita bisa melihat persamaan (1). Persamaan ini langsung memberikan hubungan yang melibatkan f(x^2 - x - 6).

Misalkan kita ingin mencari nilai dari f(x^2 - x - 6).
Persamaan (1) adalah: f(x^2 - x - 6) + 2f(x^2 + 5x) = 2x^2 + 9x.

Kita perlu menemukan cara untuk menyingkirkan atau menentukan nilai dari 2f(x^2 + 5x).

Perhatikan argumen dalam fungsi f:
Argumen pertama: x^2 - x - 6
Argumen kedua: x^2 + 5x
Argumen dalam persamaan (2): x^2 + x - 6

Mari kita coba substitusi nilai x pada persamaan (2) untuk mencari tahu bagaimana fungsi f bekerja.
Misalkan y = x^2 + x - 6.
Kita perlu mengekspresikan x^2 + 2x dalam bentuk y.

Mari kita lihat persamaan (2) lagi: f(x^2 + x - 6) = x^2 + 2x.

Sekarang, perhatikan persamaan (1): f(x^2 - x - 6) + 2f(x^2 + 5x) = 2x^2 + 9x.

Kita perlu membuat argumen f di persamaan (1) terkait dengan argumen f di persamaan (2) atau menemukan pola.

Perhatikan bahwa x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2).
Dan x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2).
Dan x^2 + 5x = x(x+5).

Jika kita bisa membuat argumen f di persamaan (1) sama dengan argumen f di persamaan (2), kita bisa menggunakan persamaan (2).

Namun, mari kita coba pendekatan lain. Kita ingin menemukan f(x^2 - x - 6).
Dari persamaan (1), kita punya:
f(x^2 - x - 6) = 2x^2 + 9x - 2f(x^2 + 5x).

Ini masih melibatkan f(x^2 + 5x).

Coba kita substitusikan nilai x tertentu ke dalam persamaan (1) dan (2).

Dari persamaan (2): f(x^2 + x - 6) = x^2 + 2x.
Jika x = 3, maka x^2 + x - 6 = 9 + 3 - 6 = 6. Dan f(6) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15.
Jika x = -3, maka x^2 + x - 6 = 9 - 3 - 6 = 0. Dan f(0) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3.

Sekarang perhatikan persamaan (1): f(x^2 - x - 6) + 2f(x^2 + 5x) = 2x^2 + 9x.

Jika kita bisa membuat argumen kedua, x^2 + 5x, menjadi sesuatu yang kita ketahui nilai f-nya dari persamaan (2).

Misalkan x^2 + 5x = x^2 + x - 6.
Ini berarti 5x = x - 6, sehingga 4x = -6, atau x = -6/4 = -3/2.
Jika x = -3/2:
Argumen pertama: x^2 - x - 6 = (-3/2)^2 - (-3/2) - 6 = 9/4 + 3/2 - 6 = 9/4 + 6/4 - 24/4 = (15 - 24)/4 = -9/4.
Argumen kedua: x^2 + 5x = (-3/2)^2 + 5(-3/2) = 9/4 - 15/2 = 9/4 - 30/4 = -21/4.
Argumen di persamaan (2): x^2 + x - 6 = (-3/2)^2 + (-3/2) - 6 = 9/4 - 3/2 - 6 = 9/4 - 6/4 - 24/4 = (9 - 30)/4 = -21/4.

Jadi, jika x = -3/2, maka x^2 + 5x = x^2 + x - 6.
Dengan demikian, f(x^2 + 5x) = f(x^2 + x - 6).

Substitusikan x = -3/2 ke dalam persamaan (2):
f((-3/2)^2 + (-3/2) - 6) = (-3/2)^2 + 2(-3/2)
f(9/4 - 3/2 - 6) = 9/4 - 3
f(9/4 - 6/4 - 24/4) = 9/4 - 12/4
f(-21/4) = -3/4.

Jadi, f(x^2 + 5x) = -3/4 ketika x = -3/2.

Sekarang substitusikan x = -3/2 ke dalam persamaan (1):
f((-3/2)^2 - (-3/2) - 6) + 2f((-3/2)^2 + 5(-3/2)) = 2(-3/2)^2 + 9(-3/2)
f(-9/4) + 2f(-21/4) = 2(9/4) - 27/2
f(-9/4) + 2(-3/4) = 18/4 - 54/4
f(-9/4) - 6/4 = -36/4
f(-9/4) - 3/2 = -9
f(-9/4) = -9 + 3/2
f(-9/4) = -18/2 + 3/2
f(-9/4) = -15/2.

Kita ditanya untuk menentukan f(x^2 - x - 6). Kita sudah menemukan bahwa ketika x = -3/2, nilai dari x^2 - x - 6 adalah -9/4. Dan kita menemukan bahwa f(-9/4) = -15/2.

Jadi, f(x^2 - x - 6) = -15/2.