Diberikan fungsi f(x)=akar(x+3) dan g(x)=x^(2)+4 x-7 .

a. (f o g)(x) = akar(x^2 + 4x - 4) b. (g o f)(x) = x - 4 + 4*akar(x+3) c. Domain (f o g)(x) adalah (-∞, -2 - 2*sqrt(2)] U [-2 + 2*sqrt(2), ∞) d. Domain (g o f)(x) adalah [-3, ∞) e. f^-1(x) = x^2 - 3, untuk x >= 0

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = akar(x+3) dan g(x) = x^2 + 4x - 7.

a. Menentukan (f o g)(x):
(f o g)(x) = f(g(x))
Substitusikan g(x) ke dalam f(x):
f(g(x)) = akar(g(x) + 3)
f(g(x)) = akar((x^2 + 4x - 7) + 3)
f(g(x)) = akar(x^2 + 4x - 4)
Jadi, (f o g)(x) = akar(x^2 + 4x - 4).

c. Menentukan domain dari (f o g)(x):
Agar f(g(x)) terdefinisi, argumen di dalam akar harus non-negatif.
Berarti, x^2 + 4x - 4 >= 0.
Kita cari akar dari x^2 + 4x - 4 = 0 menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [-4 ± sqrt(4^2 - 4*1*(-4))] / 2*1
x = [-4 ± sqrt(16 + 16)] / 2
x = [-4 ± sqrt(32)] / 2
x = [-4 ± 4*sqrt(2)] / 2
x = -2 ± 2*sqrt(2)
Akar-akarnya adalah x1 = -2 - 2*sqrt(2) dan x2 = -2 + 2*sqrt(2).
Karena parabola x^2 + 4x - 4 terbuka ke atas, maka x^2 + 4x - 4 >= 0 ketika x <= -2 - 2*sqrt(2) atau x >= -2 + 2*sqrt(2).
Jadi, domain (f o g)(x) adalah (-∞, -2 - 2*sqrt(2)] U [-2 + 2*sqrt(2), ∞).

b. Menentukan (g o f)(x):
(g o f)(x) = g(f(x))
Substitusikan f(x) ke dalam g(x):
g(f(x)) = (f(x))^2 + 4*(f(x)) - 7
g(f(x)) = (akar(x+3))^2 + 4*(akar(x+3)) - 7
g(f(x)) = (x+3) + 4*akar(x+3) - 7
g(f(x)) = x - 4 + 4*akar(x+3)
Jadi, (g o f)(x) = x - 4 + 4*akar(x+3).

d. Menentukan domain dari (g o f)(x):
Agar g(f(x)) terdefinisi, argumen di dalam akar pada f(x) harus non-negatif, yaitu x+3 >= 0, sehingga x >= -3. Selain itu, hasil dari f(x) harus terdefinisi dalam g(x), yang mana g(x) adalah fungsi polinomial yang domainnya adalah semua bilangan real. Oleh karena itu, domain (g o f)(x) ditentukan oleh domain f(x).
Jadi, domain (g o f)(x) adalah [-3, ∞).

e. Menentukan invers dari f(x):
Misalkan y = f(x) = akar(x+3).
Untuk mencari inversnya, kita tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y.
x = akar(y+3)
Kuadratkan kedua sisi:
x^2 = y + 3
y = x^2 - 3
Jadi, invers dari f(x) adalah f^-1(x) = x^2 - 3.
Namun, perlu diperhatikan domain dari f(x) asli. Karena f(x) = akar(x+3), maka x+3 >= 0, sehingga x >= -3. Range dari f(x) adalah [0, ∞). Oleh karena itu, domain dari f^-1(x) adalah [0, ∞).
Jadi, f^-1(x) = x^2 - 3, untuk x >= 0.