Diberikan g(x)=2x^3+ax^2+bx+6 dan h(x)= x^2+x+3. Jika h(x)

Nilai b/a adalah 2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai (b/a), kita perlu menggunakan informasi bahwa h(x) = x^2+x+3 adalah faktor dari g(x) = 2x^3+ax^2+bx+6. Ini berarti bahwa akar-akar dari h(x) juga merupakan akar-akar dari g(x). Kita dapat mencari akar-akar h(x) menggunakan rumus kuadrat, tetapi karena kita tahu h(x) adalah faktor, kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau teorema faktor.

Metode 1: Pembagian Polinomial
Kita bisa membagi g(x) dengan h(x). Karena h(x) adalah faktor, sisa pembagiannya harus nol. 
(2x^3+ax^2+bx+6) / (x^2+x+3) = 2x + (a-2) 

Untuk melakukan pembagian ini:
1. Bagi suku pertama g(x) dengan suku pertama h(x): 2x^3 / x^2 = 2x. Kalikan hasil ini dengan h(x): 2x(x^2+x+3) = 2x^3+2x^2+6x.
2. Kurangkan hasil ini dari g(x): (2x^3+ax^2+bx+6) - (2x^3+2x^2+6x) = (a-2)x^2 + (b-6)x + 6.
3. Sekarang, bagi suku pertama dari hasil pengurangan dengan suku pertama h(x): (a-2)x^2 / x^2 = (a-2). Kalikan hasil ini dengan h(x): (a-2)(x^2+x+3) = (a-2)x^2 + (a-2)x + 3(a-2).
4. Kurangkan hasil ini dari hasil pengurangan sebelumnya: [(a-2)x^2 + (b-6)x + 6] - [(a-2)x^2 + (a-2)x + 3(a-2)] = [(b-6)-(a-2)]x + [6-3(a-2)].

Agar h(x) menjadi faktor, sisa pembagian harus nol. Jadi, koefisien x dan konstanta harus nol:
(b-6) - (a-2) = 0  => b - 6 - a + 2 = 0 => b - a = 4
6 - 3(a-2) = 0 => 6 - 3a + 6 = 0 => 12 - 3a = 0 => 3a = 12 => a = 4

Sekarang kita punya a = 4. Substitusikan nilai a ke dalam persamaan b - a = 4:
b - 4 = 4 => b = 8.

Maka, nilai (b/a) = 8/4 = 2.

Metode 2: Teorema Faktor
Jika h(x) adalah faktor dari g(x), maka akar-akar dari h(x) juga merupakan akar-akar dari g(x). Mari kita cari akar-akar dari h(x) = x^2+x+3. Menggunakan rumus kuadrat: x = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a. Dalam kasus ini, a=1, b=1, c=3. Diskriminan D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11. Karena diskriminan negatif, akar-akarnya adalah kompleks: x = [-1 ± i*sqrt(11)] / 2.

Karena akar-akar h(x) adalah akar-akar g(x), maka kita bisa menggunakan hubungan Vieta atau substitusi. Namun, metode pembagian polinomial lebih langsung dalam kasus ini.

Jawaban yang benar adalah C. 2.