Seorang pengamat sedang mengamati peluncuran roket dari

Kecepatan roket adalah 12 km/detik.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep kalkulus, khususnya turunan, untuk mencari kecepatan roket. Kita diberikan informasi tentang sudut elevasi theta(t) dan jarak pengamat ke titik peluncuran roket. 

Diketahui:
Jarak pengamat ke titik peluncuran = 2 km (ini adalah sisi samping dari segitiga siku-siku yang dibentuk).
Sudut elevasi = theta(t).
Ketinggian roket = y(t) (ini adalah sisi depan dari segitiga siku-siku).

Dari trigonometri, kita tahu bahwa tan(theta) = y(t) / 2.
Maka, y(t) = 2 * tan(theta(t)).

Kita perlu mencari kecepatan roket, yaitu dy/dt. Kita bisa mendapatkannya dengan menurunkan y(t) terhadap waktu t:
dy/dt = d/dt [2 * tan(theta(t))]
Menggunakan aturan rantai, turunan dari tan(u) adalah sec^2(u) * du/dt. Di sini, u = theta(t).
Jadi, dy/dt = 2 * sec^2(theta(t)) * d(theta)/dt.

Kita diberitahu bahwa sudut elevasi bertambah 3 setiap detik pada saat theta=45 derajat. Ini berarti d(theta)/dt = 3 radian/detik (asumsi satuan sudut adalah radian karena digunakan dalam turunan trigonometri standar). 

Sekarang kita substitusikan nilai theta = 45 derajat (atau pi/4 radian) dan d(theta)/dt = 3 ke dalam persamaan dy/dt:
 dy/dt = 2 * sec^2(pi/4) * 3

Kita tahu bahwa sec(theta) = 1/cos(theta). Jadi, sec(pi/4) = 1/cos(pi/4). 
cos(pi/4) = sqrt(2)/2.
Jadi, sec(pi/4) = 1 / (sqrt(2)/2) = 2/sqrt(2) = sqrt(2).

Kemudian, sec^2(pi/4) = (sqrt(2))^2 = 2.

Substitusikan kembali ke persamaan dy/dt:
dy/dt = 2 * 2 * 3 = 12.

Jadi, besar kecepatan roket pada saat theta=45 derajat adalah 12 km/detik.