Diberikan kubus A B C D . E F G H dengan panjang rusuk 24.

Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah 288/13.

Pembahasan

Untuk mencari jarak antara titik Q dan bidang PAB, kita perlu menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang dalam geometri ruang.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 24.
Limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 5. Ini berarti titik P berada di atas pusat bidang alas ABCD.
Titik Q terletak pada rusuk EF sehingga QF = EQ. Karena EF adalah rusuk kubus, maka EF = 24. Jadi, EQ = QF = 12.

Kita perlu menentukan koordinat titik-titik penting untuk perhitungan.
Misalkan A = (0, 0, 0), B = (24, 0, 0), D = (0, 24, 0), E = (0, 0, 24).
Maka F = (24, 0, 24).
Titik Q pada EF dengan EQ = 12 berarti Q berada di tengah-tengah EF. Jadi, Q = (12, 0, 24).

Pusat bidang alas ABCD adalah titik O = (12, 12, 0).
Karena limas beraturan P.ABCD dengan tinggi 5, maka P = (12, 12, 5).

Bidang PAB dibentuk oleh titik P(12, 12, 5), A(0, 0, 0), dan B(24, 0, 0).
Kita perlu mencari vektor normal bidang PAB.
Vektor AB = B - A = (24, 0, 0)
Vektor AP = P - A = (12, 12, 5)

Produk silang AB x AP akan memberikan vektor normal bidang:
N = AB x AP =  | i   j   k |
              | 24  0   0 |
              | 12 12   5 |

N = i(0*5 - 0*12) - j(24*5 - 0*12) + k(24*12 - 0*12)
N = 0i - 120j + 288k
N = (0, -120, 288)

Kita bisa menyederhanakan vektor normal dengan membaginya dengan faktor persekutuan terbesar, yaitu 24: N' = (0, -5, 12).

Persamaan bidang PAB dapat ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dengan (a, b, c) adalah vektor normal.
Jadi, 0x - 5y + 12z + d = 0.
Karena bidang melewati titik A(0, 0, 0), maka 0 - 0 + 0 + d = 0, sehingga d = 0.
Persamaan bidang PAB adalah -5y + 12z = 0.

Sekarang kita hitung jarak dari titik Q(12, 0, 24) ke bidang -5y + 12z = 0.
Rumus jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Dalam kasus ini, (x0, y0, z0) = (12, 0, 24) dan bidangnya adalah 0x - 5y + 12z + 0 = 0.
A=0, B=-5, C=12, D=0.

Jarak = |0*12 + (-5)*0 + 12*24 + 0| / sqrt(0^2 + (-5)^2 + 12^2)
Jarak = |0 + 0 + 288 + 0| / sqrt(0 + 25 + 144)
Jarak = |288| / sqrt(169)
Jarak = 288 / 13

Jadi, jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah 288/13.