Diberikan kubus ABCD EFGH dengan sisi alas ABCD dan panjang

a. Jarak G ke bidang BDHF adalah 4√2 cm. b. Jarak E ke bidang AHF adalah 8√3/3 cm. c. Jarak G ke bidang ACH adalah 8√3/3 cm.

Pembahasan

Diberikan kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.

a. Jarak G ke bidang BDHF:
Bidang BDHF adalah bidang diagonal yang tegak lurus dengan diagonal ruang AG. Jarak dari titik G ke bidang BDHF adalah proyeksi G pada garis yang tegak lurus bidang tersebut dan melalui G. Dalam kubus, jarak titik ke bidang diagonal yang memuat titik tersebut adalah 0, namun pertanyaan ini kemungkinan menanyakan jarak ke bidang diagonal yang TIDAK memuat titik G.

Jika yang dimaksud adalah bidang diagonal BDHF, maka titik G tidak berada pada bidang tersebut. Jarak G ke bidang BDHF adalah jarak dari G ke perpanjangan bidang BDHF. Namun, dalam konteks geometri ruang, jarak titik ke bidang biasanya diukur tegak lurus. Perhatikan bahwa diagonal BG berada pada bidang ABGH, dan diagonal DF berada pada bidang DCGF. Bidang BDHF memotong kubus. Jarak G ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak G ke garis FH pada bidang BCGF. Ini adalah setengah dari panjang rusuk CG, yaitu 8/2 = 4 cm. Atau, kita bisa melihat bahwa G memiliki koordinat (8,8,8) jika A=(0,0,0), B=(8,0,0), D=(0,8,0), H=(8,8,0). Bidang BDHF memiliki persamaan y=8. Jarak G(8,8,8) ke bidang y=8 adalah |8-8|=0. Ini mengindikasikan ada kesalahpahaman interpretasi bidang atau titik.

Mari kita asumsikan bidang BDHF. Titik G berkoordinat (8, 8, 8) jika A=(0,0,0). Bidang BDHF dapat dibentuk oleh vektor BD = (-8, 8, 0) dan BF = (8, 0, 0). Vektor normal bidang adalah BD x BF = (0, 0, -64). Persamaan bidangnya adalah -64(z-8) = 0, atau z=8. Jarak titik G(8,8,8) ke bidang z=8 adalah 0.

Jika bidangnya adalah ACH, maka jarak G ke bidang tersebut adalah proyeksi vektor GA ke vektor normal bidang ACH. Vektor normal bidang ACH dapat dihitung dari perkalian silang AC dan AH. AC = (8,8,0), AH = (8,0,8). AC x AH = (64, -64, -64). Vektor normal = (1, -1, -1). Jarak G(8,8,8) ke bidang yang melalui A(0,0,0) dengan normal (1,-1,-1) adalah |1*8 - 1*8 - 1*8| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = |-8| / sqrt(3) = 8/sqrt(3) = 8sqrt(3)/3.

Kemungkinan besar, soal ini menanyakan jarak dari G ke bidang diagonal yang *tidak* melaluinya, misalnya bidang ACH atau BDE.

Asumsi yang lebih umum: Jarak G ke bidang BDHF adalah jarak G ke proyeksinya pada bidang tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku BFG, siku-siku di F. BG = sqrt(BF^2 + FG^2) = sqrt(8^2 + 8^2) = 8sqrt(2). Proyeksi G pada bidang BDHF akan jatuh pada titik tertentu. Jika kita melihat bidang BDHF, ia adalah persegi panjang. Titik G tidak memiliki proyeksi tegak lurus langsung ke bidang BDHF dalam cara yang sederhana tanpa analisis lebih lanjut.

Mari kita pertimbangkan diagonal ruang AG. Panjangnya adalah 8sqrt(3). Bidang BDHF memotong kubus. Jarak G ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak titik H ke bidang BDG (jika kita memutar kubus). Namun, cara paling mudah adalah melihat bahwa bidang BDHF memotong kubus secara simetris. Jarak dari G ke bidang BDHF adalah setengah dari tinggi prisma yang dibentuk oleh G dan bidang BDHF. Jika kita melihat diagonal AG, bidang BDHF tegak lurus terhadapnya di titik tengahnya jika kita memproyeksikan A dan G ke bidang tersebut. Ini membingungkan.

Mari kita gunakan koordinat: A=(0,0,0), B=(8,0,0), C=(8,8,0), D=(0,8,0), E=(0,0,8), F=(8,0,8), G=(8,8,8), H=(0,8,8).
Bidang BDHF dibentuk oleh titik B(8,0,0), D(0,8,0), H(0,8,8). Vektor BD = (-8, 8, 0). Vektor BH = (-8, 8, 8). Vektor normal = BD x BH = (64, 64, 0). Persamaan bidang: 64(x-8) + 64(y-0) + 0(z-0) = 0 => 64x - 512 + 64y = 0 => x + y = 8.
Jarak G(8,8,8) ke bidang x+y=8 adalah |8+8-8| / sqrt(1^2+1^2+0^2) = |8| / sqrt(2) = 8/sqrt(2) = 4sqrt(2).

b. Jarak E ke bidang AHF:
Bidang AHF dibentuk oleh titik A(0,0,0), H(0,8,8), F(8,0,8). Vektor AH = (0,8,8). Vektor AF = (8,0,8). Vektor normal = AH x AF = (64, 64, -64). Persamaan bidang: 64x + 64(y-0) - 64(z-0) = 0 => x + y - z = 0.
Jarak E(0,0,8) ke bidang x+y-z=0 adalah |0+0-8| / sqrt(1^2+1^2+(-1)^2) = |-8| / sqrt(3) = 8/sqrt(3) = 8sqrt(3)/3.

c. Jarak G ke bidang ACH:
Bidang ACH dibentuk oleh titik A(0,0,0), C(8,8,0), H(0,8,8). Vektor AC = (8,8,0). Vektor AH = (0,8,8). Vektor normal = AC x AH = (64, -64, 64). Persamaan bidang: 64(x-0) - 64(y-0) + 64(z-0) = 0 => x - y + z = 0.
Jarak G(8,8,8) ke bidang x-y+z=0 adalah |8-8+8| / sqrt(1^2+(-1)^2+1^2) = |8| / sqrt(3) = 8/sqrt(3) = 8sqrt(3)/3.