Diberikan matriks A=(1 2 3 4 5 6 7 8 9) Cari nilai

Determinan matriks A adalah 0 untuk ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua maupun baris ketiga.

Pembahasan

Determinan matriks A=(1 2 3 4 5 6 7 8 9) dapat dihitung dengan ekspansi kofaktor.

Matriks A:
| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

a. Ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua:
Determinan A = -4 * C21 + 5 * C22 - 6 * C23
C21 = (-1)^(2+1) * |2 3| = -1 * (2*9 - 3*8) = -1 * (18 - 24) = -1 * (-6) = 6
             |8 9|
C22 = (-1)^(2+2) * |1 3| = 1 * (1*9 - 3*7) = 1 * (9 - 21) = 1 * (-12) = -12
             |7 9|
C23 = (-1)^(2+3) * |1 2| = -1 * (1*8 - 2*7) = -1 * (8 - 14) = -1 * (-6) = 6
             |7 8|
Determinan A = -4 * (6) + 5 * (-12) - 6 * (6) = -24 - 60 - 36 = -120

b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga:
Determinan A = 7 * C31 - 8 * C32 + 9 * C33
C31 = (-1)^(3+1) * |2 3| = 1 * (2*6 - 3*5) = 1 * (12 - 15) = 1 * (-3) = -3
             |5 6|
C32 = (-1)^(3+2) * |1 3| = -1 * (1*6 - 3*4) = -1 * (6 - 12) = -1 * (-6) = 6
             |4 6|
C33 = (-1)^(3+3) * |1 2| = 1 * (1*5 - 2*4) = 1 * (5 - 8) = 1 * (-3) = -3
             |4 5|
Determinan A = 7 * (-3) - 8 * (6) + 9 * (-3) = -21 - 48 - 27 = -96

Perlu diperhatikan bahwa ada kesalahan dalam perhitungan awal saya, nilai determinan harus sama untuk ekspansi kofaktor manapun. Mari kita hitung ulang menggunakan Sarrus rule untuk verifikasi:
Det(A) = 1(5*9 - 6*8) - 2(4*9 - 6*7) + 3(4*8 - 5*7)
Det(A) = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)
Det(A) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)
Det(A) = -3 + 12 - 9 = 0

Dengan demikian, ekspansi kofaktor di atas memiliki kesalahan perhitungan. Mari kita perbaiki:

a. Ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua (yang benar):
Determinan A = -4 * C21 + 5 * C22 - 6 * C23
C21 = (-1)^(2+1) * det([[2, 3], [8, 9]]) = -1 * (2*9 - 3*8) = -1 * (18 - 24) = -1 * (-6) = 6
C22 = (-1)^(2+2) * det([[1, 3], [7, 9]]) = 1 * (1*9 - 3*7) = 1 * (9 - 21) = 1 * (-12) = -12
C23 = (-1)^(2+3) * det([[1, 2], [7, 8]]) = -1 * (1*8 - 2*7) = -1 * (8 - 14) = -1 * (-6) = 6
Determinan A = -4*(6) + 5*(-12) - 6*(6) = -24 - 60 - 36 = -120

b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga (yang benar):
Determinan A = 7 * C31 - 8 * C32 + 9 * C33
C31 = (-1)^(3+1) * det([[2, 3], [5, 6]]) = 1 * (2*6 - 3*5) = 1 * (12 - 15) = 1 * (-3) = -3
C32 = (-1)^(3+2) * det([[1, 3], [4, 6]]) = -1 * (1*6 - 3*4) = -1 * (6 - 12) = -1 * (-6) = 6
C33 = (-1)^(3+3) * det([[1, 2], [4, 5]]) = 1 * (1*5 - 2*4) = 1 * (5 - 8) = 1 * (-3) = -3
Determinan A = 7*(-3) - 8*(6) + 9*(-3) = -21 - 48 - 27 = -96

Kesimpulan: Perhitungan ekspansi kofaktor yang dilakukan secara manual seringkali rentan terhadap kesalahan aritmatika. Perhitungan dengan metode Sarrus memberikan hasil 0. Mari kita periksa kembali definisi ekspansi kofaktor dan perhitungan minornya.

Revisi Perhitungan:
Matriks A:
| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

a. Ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua:
Determinan A = -4 * (det([[2, 3], [8, 9]])) + 5 * (det([[1, 3], [7, 9]])) - 6 * (det([[1, 2], [7, 8]]))
= -4 * ((2*9) - (3*8)) + 5 * ((1*9) - (3*7)) - 6 * ((1*8) - (2*7))
= -4 * (18 - 24) + 5 * (9 - 21) - 6 * (8 - 14)
= -4 * (-6) + 5 * (-12) - 6 * (-6)
= 24 - 60 + 36
= 0

b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga:
Determinan A = 7 * (det([[2, 3], [5, 6]])) - 8 * (det([[1, 3], [4, 6]])) + 9 * (det([[1, 2], [4, 5]]))
= 7 * ((2*6) - (3*5)) - 8 * ((1*6) - (3*4)) + 9 * ((1*5) - (2*4))
= 7 * (12 - 15) - 8 * (6 - 12) + 9 * (5 - 8)
= 7 * (-3) - 8 * (-6) + 9 * (-3)
= -21 + 48 - 27
= 0