Diberikan |p|=2 ;|q|=3, dan sudut (p, q)=120. Nilai dari

Nilai dari |3p+2q| adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat vektor dan konsep hasil kali titik (dot product).
Diketahui:
|p| = 2 (magnitudo vektor p)
|q| = 3 (magnitudo vektor q)
Sudut antara p dan q (θ) = 120°

Kita ingin mencari nilai dari |3p + 2q|.
Untuk mencari magnitudo dari vektor hasil penjumlahan (3p + 2q), kita dapat menggunakan sifat bahwa |v|^2 = v ⋅ v (magnitudo kuadrat sama dengan dot product vektor dengan dirinya sendiri).
Jadi, |3p + 2q|^2 = (3p + 2q) ⋅ (3p + 2q).

Kita gunakan sifat distributif dari dot product:
(3p + 2q) ⋅ (3p + 2q) = (3p ⋅ 3p) + (3p ⋅ 2q) + (2q ⋅ 3p) + (2q ⋅ 2q)
= 9(p ⋅ p) + 6(p ⋅ q) + 6(q ⋅ p) + 4(q ⋅ q)

Karena p ⋅ q = q ⋅ p, kita dapat menyederhanakannya:
= 9(p ⋅ p) + 12(p ⋅ q) + 4(q ⋅ q)

Kita tahu bahwa p ⋅ p = |p|^2 dan q ⋅ q = |q|^2.
Kita juga tahu bahwa p ⋅ q = |p| |q| cos(θ).

Mengganti nilai-nilai yang diketahui:
|p|^2 = 2^2 = 4
|q|^2 = 3^2 = 9
p ⋅ q = (2)(3) cos(120°)
Karena cos(120°) = -1/2:
p ⋅ q = (6)(-1/2) = -3

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini kembali ke persamaan magnitudo kuadrat:
|3p + 2q|^2 = 9(4) + 12(-3) + 4(9)
= 36 - 36 + 36
= 36

Untuk mendapatkan |3p + 2q|, kita ambil akar kuadrat dari hasil di atas:
|3p + 2q| = √36
|3p + 2q| = 6

Jadi, nilai dari |3p + 2q| adalah 6.