Diberikan P(-2,3) dan Q(4,5). Persamaan garis singgung pada

3x + y - (3 ± 9√10) = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis PQ, kita perlu beberapa langkah. Pertama, cari gradien garis PQ. Titik P adalah (-2, 3) dan titik Q adalah (4, 5). Gradien garis PQ (m_PQ) dihitung dengan rumus (y2 - y1) / (x2 - x1). m_PQ = (5 - 3) / (4 - (-2)) = 2 / (4 + 2) = 2 / 6 = 1/3. Karena garis singgung tegak lurus dengan garis PQ, gradien garis singgung (m_singgung) adalah negatif kebalikan dari gradien PQ. m_singgung = -1 / m_PQ = -1 / (1/3) = -3. Persamaan lingkaran L adalah x^2 + y^2 - 4x + 6y = 68. Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran, kita ubah ke bentuk (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Lengkapi kuadrat: (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 68. (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 68 + 4 + 9. (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 81. Jadi, pusat lingkaran adalah (2, -3) dan jari-jarinya adalah sqrt(81) = 9. Persamaan garis singgung dengan gradien m = -3 adalah y - y1 = m(x - x1). Namun, kita perlu titik singgungnya. Alternatifnya, gunakan rumus garis singgung secara umum: xx1 + yy1 + a(x+x1) + b(y+y1) + c = 0. Atau, kita bisa menggunakan jarak dari pusat ke garis singgung sama dengan jari-jari. Persamaan garis singgung dengan gradien -3 adalah y = -3x + c, atau 3x + y - c = 0. Jarak dari pusat (2, -3) ke garis ini adalah 9. |3(2) + (-3) - c| / sqrt(3^2 + 1^2) = 9. |6 - 3 - c| / sqrt(9 + 1) = 9. |3 - c| / sqrt(10) = 9. |3 - c| = 9 * sqrt(10). 3 - c = 9 * sqrt(10) atau 3 - c = -9 * sqrt(10). c = 3 - 9 * sqrt(10) atau c = 3 + 9 * sqrt(10). Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = -3x + (3 - 9 * sqrt(10)) atau y = -3x + (3 + 9 * sqrt(10)). Ditulis dalam bentuk Ax + By + C = 0: 3x + y - (3 - 9 * sqrt(10)) = 0 atau 3x + y - (3 + 9 * sqrt(10)) = 0.