Diberikan pertidaksamaan (x-3)/(x^2-8x+7)>0. Himpunan

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 1 < x < 3 atau x > 7}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (x-3)/(x^2-8x+7)>0, kita perlu mencari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut, lalu menguji interval.

Langkah 1: Cari pembuat nol untuk pembilang.
x - 3 = 0  =>  x = 3

Langkah 2: Cari pembuat nol untuk penyebut.
x^2 - 8x + 7 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 1)(x - 7) = 0

Pembuat nol penyebut adalah x = 1 dan x = 7. Ingat bahwa penyebut tidak boleh nol, jadi x ≠ 1 dan x ≠ 7.

Langkah 3: Tentukan interval.
Pembuat nol yang kita miliki adalah 1, 3, dan 7. Ini membagi garis bilangan menjadi empat interval:
(-∞, 1), (1, 3), (3, 7), (7, ∞)

Langkah 4: Uji setiap interval.
Pilih nilai uji dari setiap interval dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan asli (x-3)/(x^2-8x+7) > 0.

Interval (-∞, 1):
Uji x = 0:
(0-3) / (0^2 - 8*0 + 7) = -3 / 7. Hasilnya negatif (-).

Interval (1, 3):
Uji x = 2:
(2-3) / (2^2 - 8*2 + 7) = (-1) / (4 - 16 + 7) = -1 / -5. Hasilnya positif (+).

Interval (3, 7):
Uji x = 4:
(4-3) / (4^2 - 8*4 + 7) = 1 / (16 - 32 + 7) = 1 / -9. Hasilnya negatif (-).

Interval (7, ∞):
Uji x = 8:
(8-3) / (8^2 - 8*8 + 7) = 5 / (64 - 64 + 7) = 5 / 7. Hasilnya positif (+).

Langkah 5: Tentukan himpunan penyelesaian.
Pertidaksamaan meminta hasil yang lebih besar dari 0 (positif). Dari pengujian interval, hasil positif didapatkan pada interval (1, 3) dan (7, ∞).

Jadi, himpunan harga-harga x yang memenuhi pertidaksamaan adalah {x | 1 < x < 3 atau x > 7}.