Diberikan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang

Soal ini tampaknya memiliki ambiguitas dalam penentuan posisi titik M dan N berdasarkan deskripsi bidang perpotongan dan bidang BCGF. Tanpa klarifikasi lebih lanjut mengenai bagaimana bidang PQRS berpotongan dengan bidang BCGF untuk membentuk garis MN, tidak mungkin untuk menghitung luas segitiga BMN secara definitif.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengidentifikasi informasi yang diberikan mengenai kubus dan titik-titik yang disebutkan, kemudian menghitung luas segitiga BMN.

1. **Informasi Kubus:**
   - Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk `p`.
   - Titik P, Q, R, S berturut-turut adalah titik tengah rusuk EH, FG, BC, dan AD.

2. **Bidang PQRS:**
   - Bidang yang melalui P, Q, R, S adalah bidang yang sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH.
   - P adalah titik tengah EH.
   - Q adalah titik tengah FG.
   - R adalah titik tengah BC.
   - S adalah titik tengah AD.
   - Bidang PQRS akan memotong rusuk-rusuk kubus di tengahnya.

3. **Garis Potong dengan Bidang BCG:**
   - Bidang PQRS berpotongan dengan bidang BCGF (karena BCG adalah bagian dari bidang BCGF).
   - Garis potongnya adalah MN.
   - Titik M akan berada pada rusuk BG.
   - Titik N akan berada pada rusuk CG.

4. **Menentukan Posisi M dan N:**
   - Karena bidang PQRS sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH, dan PQRS memotong bidang BCGF, garis potong MN akan sejajar dengan rusuk BC dan FG.
   - Titik P adalah tengah EH, Q adalah tengah FG. Garis PQ sejajar dengan EF dan HG.
   - Titik S adalah tengah AD, R adalah tengah BC. Garis SR sejajar dengan AB dan DC.
   - Bidang PQRS sendiri memiliki bentuk persegi panjang dengan panjang SR = p dan lebar PQ = p (karena PQ sejajar dengan EH dan FG).

   - Sekarang, mari kita fokus pada bidang BCGF. Bidang ini adalah persegi dengan sisi `p`.
   - Titik R adalah titik tengah BC.
   - Titik Q adalah titik tengah FG.
   - Garis PQ menghubungkan titik tengah EH dan FG. Proyeksikan P dan Q ke bidang BCGF. P akan berproyeksi ke titik tengah FG (yaitu Q), dan Q akan berproyeksi ke titik tengah BC (yaitu R). Ini berarti garis PQ akan sejajar dengan bidang BCGF jika kita menganggapnya sebagai proyeksi.

   - Bidang PQRS memotong bidang BCGF di garis MN.
   - Karena P adalah tengah EH dan S adalah tengah AD, maka PS sejajar AB dan DC.
   - Karena Q adalah tengah FG dan R adalah tengah BC, maka QR sejajar FG dan BC.
   - Bidang PQRS ini akan memotong BCGF sejajar dengan SR dan PQ.
   - Titik M pada BG, dan N pada CG.
   - Pertimbangkan bidang EFGH. P adalah tengah EH. Q adalah tengah FG. PQ sejajar EH dan FG.
   - Pertimbangkan bidang ABCD. S adalah tengah AD. R adalah tengah BC. SR sejajar AD dan BC.
   - Bidang PQRS sejajar dengan bidang alas dan atas. Jadi, PQRS memotong sisi-sisi tegak kubus pada ketinggian yang sama.

   - Mari kita gunakan koordinat. Misalkan B = (0, 0, 0), C = (p, 0, 0), G = (p, p, 0), F = (0, p, 0). Maka E = (0, p, p) dan H = (p, p, p).
     - A = (0, 0, p)
     - D = (p, 0, p)

   - Koordinat titik tengah:
     - P (tengah EH): ((0+p)/2, (p+p)/2, (p+p)/2) = (p/2, p, p)
     - Q (tengah FG): ((0+p)/2, (p+0)/2, (0+p)/2) = (p/2, p/2, p/2)
     - R (tengah BC): ((0+p)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (p/2, 0, 0)
     - S (tengah AD): ((0+p)/2, (0+0)/2, (p+p)/2) = (p/2, 0, p)

   - Bidang PQRS tidak benar-benar melalui titik-titik ini seperti yang dijelaskan, karena P, Q, R, S yang diberikan adalah titik tengah rusuk yang berbeda.

   Mari kita ulang penentuan titik P, Q, R, S sesuai deskripsi:
   - P: tengah EH
   - Q: tengah FG
   - R: tengah BC
   - S: tengah AD

   Mari gunakan sistem koordinat:
   Misalkan titik sudut kubus sebagai berikut:
   A = (0, 0, p), B = (p, 0, p), C = (p, p, p), D = (0, p, p)
   E = (0, 0, 0), F = (p, 0, 0), G = (p, p, 0), H = (0, p, 0)
   Panjang rusuk adalah `p`.

   - Titik tengah:
     - P (tengah EH): ((0+0)/2, (0+p)/2, (0+0)/2) = (0, p/2, 0)
     - Q (tengah FG): ((p+p)/2, (0+p)/2, (0+0)/2) = (p, p/2, 0)
     - R (tengah BC): ((p+p)/2, (0+p)/2, (p+p)/2) = (p, p/2, p)
     - S (tengah AD): ((0+0)/2, (0+p)/2, (p+p)/2) = (0, p/2, p)

   - Bidang PQRS ini sejajar dengan bidang ABCD (alas) dan EFGH (atas), dan juga sejajar dengan bidang ABFE dan DCGH.
   - Bidang PQRS adalah bidang yang melalui titik-titik dengan koordinat y = p/2. Persamaan bidangnya adalah y = p/2.

   - Bidang BCGF adalah bidang yang dibatasi oleh titik B(p, 0, p), C(p, p, p), G(p, p, 0), F(p, 0, 0).
     Dalam sistem koordinat ini, bidang BCGF memiliki persamaan x = p.

   - Perpotongan bidang PQRS (y = p/2) dengan bidang BCGF (x = p):
     Garis perpotongan ini terletak pada bidang x = p dan bidang y = p/2.
     Ini adalah garis yang sejajar dengan sumbu Z.
     Garis ini memotong rusuk BC dan FG.
     - Pada bidang BCGF (x=p):
       - Rusuk BC memiliki koordinat (p, y, p) untuk 0 <= y <= p.
       - Rusuk FG memiliki koordinat (p, y, 0) untuk 0 <= y <= p.

     - Garis MN terletak pada bidang x = p dan y = p/2.
     - Titik N berada pada rusuk CG. Rusuk CG memiliki koordinat (p, p, z) untuk 0 <= z <= p.
       Karena N berada pada garis x=p dan y=p/2, maka koordinat N adalah (p, p/2, z_N).
       Namun, N harus berada pada CG, yang berarti y=p pada BCGF. Koordinat C=(p,p,p) dan G=(p,p,0). Jadi rusuk CG adalah (p, p, z) dimana 0 <= z <= p.
       Ini berarti interpretasi bidang BCGF saya sebelumnya salah.

   Mari kita gunakan koordinat yang lebih standar:
   A=(0,0,0), B=(p,0,0), C=(p,p,0), D=(0,p,0)
   E=(0,0,p), F=(p,0,p), G=(p,p,p), H=(0,p,p)

   - Titik tengah:
     - P (tengah EH): ((0+0)/2, (0+p)/2, (0+p)/2) = (0, p/2, p)
     - Q (tengah FG): ((p+p)/2, (0+p)/2, (0+p)/2) = (p, p/2, p)
     - R (tengah BC): ((p+p)/2, (0+p)/2, (0+0)/2) = (p, p/2, 0)
     - S (tengah AD): ((0+0)/2, (0+p)/2, (0+0)/2) = (0, p/2, 0)

   - Bidang PQRS ini memiliki persamaan y = p/2. Bidang ini sejajar dengan bidang xz (bidang yang memuat sumbu x dan z).

   - Bidang BCGF:
     B=(p,0,0), C=(p,p,0), G=(p,p,p), F=(p,0,p).
     Semua titik pada bidang BCGF memiliki koordinat x = p. Jadi persamaan bidang BCGF adalah x = p.

   - Perpotongan bidang PQRS (y = p/2) dengan bidang BCGF (x = p):
     Garis MN terletak pada perpotongan kedua bidang ini.
     Garis MN adalah garis di mana x = p dan y = p/2.
     Garis ini memotong rusuk BC dan FG.

     - Rusuk BC: koordinat (p, y, 0) untuk 0 <= y <= p. Garis MN memotong BC di titik N, di mana y = p/2. Jadi, N = (p, p/2, 0).
     - Rusuk FG: koordinat (p, y, p) untuk 0 <= y <= p. Garis MN memotong FG di titik M, di mana y = p/2. Jadi, M = (p, p/2, p).

     - Perhatikan bahwa saya menukar M dan N karena urutan titik pada deskripsi soal mungkin mengacu pada perpotongan dengan rusuk yang sesuai. Mari kita periksa kembali.
     Bidang PQRS memotong BCGF di garis MN.
     P(0, p/2, p), Q(p, p/2, p), R(p, p/2, 0), S(0, p/2, 0).
     Bidang BCGF adalah x=p.
     Perpotongan dengan BC (x=p, y dari 0 ke p, z=0): titik R(p, p/2, 0) ada pada BC.
     Perpotongan dengan FG (x=p, y dari 0 ke p, z=p): titik Q(p, p/2, p) ada pada FG.
     Jadi, garis MN adalah garis yang menghubungkan R dan Q. Ini tampaknya tidak sesuai dengan soal yang mengatakan M pada BG dan N pada CG.

   Mari kita coba penafsiran lain dari titik tengah:
   EH, FG, BC, AD adalah rusuk.
   P tengah EH, Q tengah FG, R tengah BC, S tengah AD.

   Bayangkan kubus. PQ sejajar EF dan HG. SR sejajar AB dan DC.
   PS sejajar EA dan HD. QR sejajar FB dan GC.
   Bidang PQRS adalah bidang tengah yang sejajar dengan bidang alas dan atas.

   Sekarang, bidang BCGF. Ini adalah sisi samping kanan kubus.
   Rusuk BC, CG, GF, FB.
   R adalah titik tengah BC.
   Q adalah titik tengah FG.
   Garis MN adalah perpotongan bidang PQRS dengan bidang BCGF.

   Karena PQRS sejajar dengan bidang alas ABCD dan bidang atas EFGH, maka bidang PQRS memotong rusuk-rusuk tegak (AE, BF, CG, DH) pada ketinggian yang sama (yaitu, di tengah-tengahnya).
   Titik P ada di EH, Q di FG, R di BC, S di AD.

   Jika kita melihat sisi BCGF:
   R adalah titik tengah BC.
   Q adalah titik tengah FG.
   Garis yang menghubungkan titik tengah dua rusuk yang berhadapan dalam sebuah persegi (atau persegi panjang) akan sejajar dengan dua rusuk lainnya.
   Jadi, RQ sejajar dengan BF dan CG.

   Sekarang, bidang PQRS memotong bidang BCGF di garis MN.
   Karena bidang PQRS sejajar dengan bidang alas dan atas, maka garis potong MN pada bidang BCGF akan sejajar dengan rusuk-rusuk BC dan FG (yang berada di bidang BCGF).
   Ini kontradiktif dengan RQ sejajar CG.

   Ada kemungkinan penafsiran soal yang berbeda mengenai