Diberikan suatu fungsi f(x)=Plog (3x^2-3x) dan g(x) Plog

a. $x o (-4, -2/3) \cup (2, \infty)$; b. $x o (-2/3, 0) \cup (1, 2)$

Pembahasan

Diberikan fungsi $f(x) = \log_{p} (3x^2-3x)$ dan $g(x) = \log_{p} (x+4)$. Diketahui bahwa $f(x) < g(x)$.

Agar kedua fungsi logaritma terdefinisi, argumennya harus positif:
1.  $3x^2 - 3x > 0 
    3x(x - 1) > 0$
    Ini terjadi ketika $x < 0$ atau $x > 1$.
2.  $x + 4 > 0 
    $x > -4$

Menggabungkan kedua syarat, domain yang memenuhi adalah $(-4, 0) \cup (1, \infty)$.

Karena $f(x) < g(x)$, maka $\log_{p} (3x^2-3x) < \log_{p} (x+4)$.

a. **Jika $p = 1/3$ (0 < p < 1):**
    Ketika basis logaritma antara 0 dan 1, fungsi logaritma bersifat monoton turun. Ini berarti jika $\log_{p} A < \log_{p} B$, maka $A > B$.
    Sehingga, $3x^2 - 3x > x + 4$
    $3x^2 - 4x - 4 > 0$
    Kita cari akar-akar persamaan $3x^2 - 4x - 4 = 0$ menggunakan rumus kuadratik:
    $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}$
    Akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -2/3$ dan $x_2 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
    Karena parabola $3x^2 - 4x - 4$ terbuka ke atas, maka $3x^2 - 4x - 4 > 0$ ketika $x < -2/3$ atau $x > 2$.
    Sekarang kita harus menggabungkan hasil ini dengan domain yang memenuhi agar kedua fungsi terdefinisi, yaitu $(-4, 0) \cup (1, \infty)$.
    *   Irisan dari $x < -2/3$ dengan $(-4, 0) \cup (1, \infty)$ adalah $(-4, -2/3)$.
    *   Irisan dari $x > 2$ dengan $(-4, 0) \cup (1, \infty)$ adalah $(2, \infty)$.
    Jadi, batas-batas nilai x jika $p=1/3$ adalah $x 	o (-4, -2/3) \cup (2, \infty)$.

b. **Jika $p = 3$ (p > 1):**
    Ketika basis logaritma lebih besar dari 1, fungsi logaritma bersifat monoton naik. Ini berarti jika $\log_{p} A < \log_{p} B$, maka $A < B$.
    Sehingga, $3x^2 - 3x < x + 4$
    $3x^2 - 4x - 4 < 0$
    Dari perhitungan di bagian a, kita tahu bahwa $3x^2 - 4x - 4 < 0$ ketika $-2/3 < x < 2$.
    Sekarang kita harus menggabungkan hasil ini dengan domain yang memenuhi agar kedua fungsi terdefinisi, yaitu $(-4, 0) \cup (1, \infty)$.
    *   Irisan dari $-2/3 < x < 2$ dengan $(-4, 0) \cup (1, \infty)$ adalah $(-2/3, 0) \cup (1, 2)$.
    Jadi, batas-batas nilai x jika $p=3$ adalah $x 	o (-2/3, 0) \cup (1, 2)$.