Diketahui 2x + y = 12. Nilai maksimum xy adalah

Nilai maksimum xy adalah 18.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan 2x + y = 12 dan diminta untuk mencari nilai maksimum dari xy. Kita dapat menggunakan metode substitusi dari aljabar atau menggunakan konsep turunan dari kalkulus.
Metode 1: Aljabar
Dari persamaan 2x + y = 12, kita bisa menyatakan y dalam bentuk x: y = 12 - 2x.
Sekarang substitusikan ini ke dalam ekspresi xy:
xy = x(12 - 2x)
xy = 12x - 2x²
Ini adalah fungsi kuadrat dalam bentuk f(x) = -2x² + 12x. Fungsi kuadrat ini membuka ke bawah (karena koefisien x² negatif), sehingga memiliki nilai maksimum pada puncaknya.
Koordinat x dari puncak parabola ax² + bx + c adalah -b / 2a.
Dalam kasus ini, a = -2 dan b = 12.
x_puncak = -12 / (2 * -2) = -12 / -4 = 3.
Sekarang cari nilai y ketika x = 3:
y = 12 - 2x = 12 - 2(3) = 12 - 6 = 6.
Nilai maksimum xy adalah x * y = 3 * 6 = 18.
Metode 2: Kalkulus
Kita punya f(x) = 12x - 2x².
Untuk mencari nilai maksimum, kita cari turunan pertama dan setel sama dengan nol:
f'(x) = 12 - 4x
Setel f'(x) = 0:
12 - 4x = 0
4x = 12
x = 3
Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita periksa turunan kedua:
f''(x) = -4
Karena turunan kedua negatif, ini adalah titik maksimum.
Ketika x = 3, y = 12 - 2(3) = 6.
Nilai maksimum xy = 3 * 6 = 18.
Jadi, nilai maksimum xy adalah 18.