Dalam Segitiga ABC, buktikan: tan A/2 tan B/2 + tan B/2 tan

Terbukti.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$ dalam segitiga ABC, kita dapat menggunakan sifat bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat ($\\pi$ radian), yaitu $A + B + C = \pi$.

Dari $A + B + C = \pi$, kita dapatkan $\\frac{A+B}{2} = \frac{\\pi - C}{2} = \frac{\\pi}{2} - \frac{C}{2}$.

Selanjutnya, kita ambil tangen dari kedua sisi:
$\\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(\frac{\\pi}{2} - \frac{C}{2}\right)$

Menggunakan identitas $\\tan (90^\circ - x) = \cot x$ (atau $\\tan (\\frac{\\pi}{2} - x) = \cot x$), kita peroleh:
$\\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$

Kita tahu bahwa $\\cot x = \frac{1}{\\tan x}$, jadi:
$\\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{1}{\\tan \frac{C}{2}}$

Sekarang, kita gunakan rumus penjumlahan tangen: $\\tan (x+y) = \frac{\\tan x + \\tan y}{1 - \\tan x \\tan y}$.
Terapkan pada $\\tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$:
$\\frac{\\tan \frac{A}{2} + \\tan \frac{B}{2}}{1 - \\tan \frac{A}{2} \\tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\\tan \frac{C}{2}}$

Kalikan silang:
$(\\tan \frac{A}{2} + \\tan \frac{B}{2}) \\tan \frac{C}{2} = 1 - \\tan \frac{A}{2} \\tan \frac{B}{2}$

Distribusikan $\\tan \frac{C}{2}$:
$\\tan \frac{A}{2} \\tan \frac{C}{2} + \\tan \frac{B}{2} \\tan \frac{C}{2} = 1 - \\tan \frac{A}{2} \\tan \frac{B}{2}$

Pindahkan suku $-\\tan \frac{A}{2} \\tan \frac{B}{2}$ ke sisi kiri:
$\\tan \frac{A}{2} \\tan \frac{B}{2} + \\tan \frac{A}{2} \\tan \frac{C}{2} + \\tan \frac{B}{2} \\tan \frac{C}{2} = 1$

Ini membuktikan identitas yang diminta.

Jawaban Ringkas: Terbukti bahwa $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$